二、函数的性质

1. 单调性

定义 设函数 $y = f(x)$ 在某区间 $I$ 上有定义，如果对于区间 $I$ 上的任意两点 $x_1 < x_2$ 恒有 $f(x_1) < f(x_2)$（或 $f(x_1) > f(x_2)$），则称 $y = f(x)$ 在该区间内单调增加（或单调减少）.

【注】 函数的单调性主要是利用单调性的定义和一阶导数的正负进行判定.

2. 奇偶性

定义 设函数 $y = f(x)$ 的定义域 $D$ 关于原点对称（即若 $x \in D$，则有 $-x \in D$），如果对于任一 $x \in D$，恒有

则称 $f(x)$ 为 $D$ 上的偶函数；如果对于任一 $x \in D$，恒有

则称 $f(x)$ 为 $D$ 上的奇函数.

【注】

• 奇函数的图形关于坐标原点对称，偶函数的图形关于 $y$ 轴对称.
• 奇函数的代数和仍为奇函数，偶函数的代数和仍为偶函数.
• 偶数个奇函数之积为偶函数，奇数个奇函数之积为奇函数.
• 两个偶函数的积、商仍为偶函数，两个奇函数的积、商为偶函数.
• 一个奇函数与一个偶函数的积、商为奇函数.
• 奇偶性的判断：定义法、运算性质.
• 奇函数 $f(x)$ 若在 $x = 0$ 处有定义，则 $f(0) = 0$.
• $\sin x$, $\tan x$, $\arcsin x$, $\arctan x$, $\ln\frac{1 - x}{1 + x}$, $\ln(x + \sqrt{1 + x^2})$, $\frac{e^x - 1}{e^x + 1}$, $f(x) - f(-x)$ 都是奇函数；$x^2$, $|x|$, $\cos x$, $f(x) + f(-x)$ 都是偶函数.

例 8

判断函数 $f(x) = \ln(\sqrt{1 + x^2} - x)$ 的奇偶性.

例 9

若 $g(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 内恒有 $g(x + y) = g(x) + g(y)$，对任意 $x, y$ 都成立.
试判定 $f(x) = g(x)\sin x$ 的奇偶性.

3. 周期性

定义 若存在实数 $T > 0$，对于任意 $x$，恒有 $f(x+T) = f(x)$，则称 $y = f(x)$ 为以 $T$ 为周期的周期函数。使得上述关系式成立的最小正数 $T$ 称为 $f(x)$ 的最小正周期，简称为函数 $f(x)$ 的周期。

【注】

(1) $\sin x$ 和 $\cos x$ 以 $2\pi$ 为周期，$\sin 2x$，$|\sin x|$，$\tan x$，$\cot x$ 以 $\pi$ 为周期。

(2) 若 $f(x)$ 以 $T$ 为周期，则 $f(ax+b)$ 以 $\frac{T}{|a|}$ 为周期。

(3) $f(x)$，$g(x)$ 均以 $T$ 为周期，则 $f(x) \pm g(x)$ 也以 $T$ 为周期。

(4) $f(x)$，$g(x)$ 分别以 $T_1$，$T_2$ 为周期，则 $f(x) \pm g(x)$ 的周期为 $T_1$，$T_2$ 的最小公倍数。

(5) 周期性的判定：定义法、周期函数的运算性质。

例 10 判定函数 $f(x) = \sin 3x - \cos 2x + \tan(4x+1)$ 的周期。

4. 有界性

定义 设 $y = f(x)$ 在集合 $X$ 上有定义。若存在 $M > 0$，使得对任意的 $x \in X$，恒有

则称 $f(x)$ 在 $X$ 上为有界函数。否则称 $f(x)$ 在 $X$ 上为无界函数。即：如果对任意的 $M > 0$，至少存在一个 $x_0 \in X$，使得 $|f(x_0)| > M$，则 $f(x)$ 为 $X$ 上的无界函数。

【注】

(1) 如果没有指明 $x$ 的范围，而说“$f(x)$ 为有界函数”，是指 $f(x)$ 在其定义域上为有界函数。

(2) 函数有界的定义也可表述为：如果存在常数 $M_1$ 和 $M_2$，使得对任意 $x \in X$，都有 $M_1 \leq f(x) \leq M_2$，则称 $f(x)$ 在 $X$ 上有界，分别称 $M_1$ 和 $M_2$ 为 $f(x)$ 在 $X$ 上的一个下界和上界。

(3) 常见的有界函数：

例 11 判断函数 $f(x)=\frac{x+3}{x^2+1}$ 是否有界。

例 12 证明函数 $f(x)=x\sin x$ 是无界函数。

例 13 (1987, 数二) 函数 $f(x) = |x \sin x| \mathrm{e}^{\cos x}(-\infty < x < +\infty)$ 是

(A) 有界函数. （B）单调函数. （C）周期函数. （D）偶函数.