一、极限的概念与性质

1. 数列的极限

定义 如果对于任意给定的 $\varepsilon > 0$, 总存在正整数 $N$, 当 $n > N$ 时, 恒有

成立, 则称常数 $a$ 为数列 $\{x_n\}$ 当 $n$ 趋于无穷时的极限, 记为 $\lim_{n \to \infty} x_n = a$.

【注】

(1) $\varepsilon$ 是用来刻画 $x_n$ 与 $a$ 的接近程度, $N$ 是用来刻画 $n \to \infty$ 这个极限过程.

(2) $\lim_{n \to \infty} x_n = a$ 的几何意义是: 对于 $a$ 点的任何 $\varepsilon$ 邻域即开区间 $(a - \varepsilon, a + \varepsilon)$, 一定存在 $N$, 当 $n > N$ 即第 $N$ 项以后的点 $x_n$ 都落在开区间 $(a - \varepsilon, a + \varepsilon)$ 内, 而只有有限个(最多有 $N$ 个) 在这区间之外.

(3) 数列 $\{x_n\}$ 的极限是否存在, 如果存在, 极限值等于多少与数列的前有限项无关.

(4) 如果一个数列有极限, 也称该数列收敛, 否则就称发散.

(5) 记住下列极限结果:
① $\lim_{n \to \infty} q^n = 0 (|q| < 1)$; ② $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^\alpha} = 0 (\alpha > 0)$.

(6) 若数列 $\{x_n\}$ 收敛于 $a$, 则其任一子数列也收敛于 $a$.

定理 $\lim_{n \to \infty} x_n = a$ 的充分必要条件是 $\lim_{n \to \infty} x_{2n-1} = \lim_{n \to \infty} x_{2n} = a$.

推论 若 $\lim_{n \to \infty} x_{2n-1} = a$, $\lim_{n \to \infty} x_{2n} = b$, 且 $a \neq b$, 则 $\lim_{n \to \infty} x_n$ 不存在.

例1

(2006, 数三) $\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n+1}{n}\right)^{(-1)^n} = \quad \quad$.

【解】方法一
$x_n = \left(\frac{n+1}{n}\right)^{(-1)^n}$, 则

由于 $\lim_{n \to \infty} x_{2n-1} = \lim_{n \to \infty} x_{2n} = 1$，所以 $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n+1}{n} \right)^{(-1)^n} = 1$.

方法二 因为 $\left(\frac{n+1}{n}\right)^{-1} \leqslant \left(\frac{n+1}{n}\right)^{(-1)^n} \leqslant \left(\frac{n+1}{n}\right)^1,$

利用夹逼准则，$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n+1}{n}\right)^{(-1)^n} = 1$.

方法三 因为 $\left(\frac{n+1}{n}\right)^{(-1)^n} = e^{(-1)^n \ln \frac{n+1}{n}},$

所以 $\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n+1}{n}\right)^{(-1)^n} = \lim_{n \to \infty} e^{(-1)^n \ln \frac{n+1}{n}} = e^{\lim_{n \to \infty} (-1)^n \ln \frac{n+1}{n}} = 1$.

例 2 试证明：

(1) 若 $\lim_{n \to \infty} x_n = a$，则 $\lim_{n \to \infty} |x_n| = |a|$，但反之不成立；

(2) $\lim_{n \to \infty} x_n = 0$ 的充分必要条件是 $\lim_{n \to \infty} |x_n| = 0$.

【证】 (1) 由于 $\lim_{n \to \infty} x_n = a$ 及数列极限定义知，$\forall \varepsilon > 0, \exists N > 0$，当 $n > N$ 时，

又 $||x_n| - |a|| \leqslant |x_n - a|$，则 $\forall \varepsilon > 0, \exists N > 0$，当 $n > N$ 时，

故 $\lim_{n \to \infty} |x_n| = |a|$.

反之不成立，例如 $x_n = (-1)^n$，则 $\lim_{n \to \infty} |x_n| = 1 = |1|$，但 $\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} (-1)^n$ 不存在.

(2) 由 (1) 可知，若 $\lim_{n \to \infty} x_n = 0$，则 $\lim_{n \to \infty} |x_n| = |0| = 0$.

以下只要证明：若 $\lim_{n \to \infty} |x_n| = 0$，则 $\lim_{n \to \infty} x_n = 0$.

由 $\lim_{n \to \infty} |x_n| = 0$ 可知，$\forall \varepsilon > 0, \exists N > 0$，当 $n > N$ 时，

即 $|x_n - 0| < \varepsilon$。故原题得证.

【评注】本题可作为结论来用，函数的极限也有类似的结论.

例 3 （2015，数三）设 $\{x_n\}$ 是数列，下列命题中不正确的是

(A) 若 $\lim_{n \to \infty} x_n = a$，则 $\lim_{n \to \infty} x_{2n} = \lim_{n \to \infty} x_{2n+1} = a$.

(B) 若 $\lim_{n \to \infty} x_{2n} = \lim_{n \to \infty} x_{2n+1} = a$，则 $\lim_{n \to \infty} x_n = a$.

(C) 若 $\lim_{n \to \infty} x_n = a$，则 $\lim_{n \to \infty} x_{3n} = \lim_{n \to \infty} x_{3n+1} = a$.

(D) 若 $\lim_{n \to \infty} x_{3n} = \lim_{n \to \infty} x_{3n+1} = a$，则 $\lim_{n \to \infty} x_n = a$.

【解】由数列极限的性质知，选项 (A)(B)(C) 都正确，

而选项 (D) 不正确，举反例：如 $x_{3n} = 1, x_{3n+1} = 1 + \frac{1}{n}, x_{3n+2} = 0$，

则有 $\lim_{n \to \infty} x_{3n} = \lim_{n \to \infty} x_{3n+1} = 1$，但 $\lim_{n \to \infty} x_{3n+2} = 0$，所以 $\lim_{n \to \infty} x_n$ 不存在.

因而 (D) 不正确. 故应选 (D).

例 4 (2019，数三) $\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{1 \times 2}+\frac{1}{2 \times 3}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}\right]^{n}=$ _______.

【解】 $\frac{1}{1 \times 2}+\frac{1}{2 \times 3}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$

$=1-\frac{1}{n+1}$,

原式 $=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(1+\left(-\frac{1}{n+1}\right)\right)^{-(n+1)}]\right..^{\frac{n}{-(n+1)}}=\mathrm{e}^{-1}=\frac{1}{\mathrm{e}}$.

2. 函数的极限

自变量趋于无穷大时函数的极限

定义 若对任意给定的 $\varepsilon>0$, 总存在 $X>0$, 当 $x>X$ 时, 恒有 $|f(x)-A|<\varepsilon$, 则称常数 $A$ 为 $f(x)$ 当 $x \rightarrow+\infty$ 时的极限, 记为 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$.

定义 若对任意给定的 $\varepsilon>0$, 总存在 $X>0$, 当 $x<-X$ 时, 恒有 $|f(x)-A|<\varepsilon$, 则称常数 $A$ 为 $f(x)$ 当 $x \rightarrow-\infty$ 时的极限, 记为 $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=A$.

定义 若对任意给定的 $\varepsilon>0$, 总存在 $X>0$, 当 $|x|>X$ 时, 恒有 $|f(x)-A|<\varepsilon$, 则称常数 $A$ 为 $f(x)$ 当 $x \rightarrow \infty$ 时的极限, 记为 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=A$.

【注】 （1）这里的 $x \rightarrow \infty$ 是指 $|x| \rightarrow+\infty$; 而数列极限中的 $n \rightarrow \infty$ 是指 $n \rightarrow+\infty$. （2）记住以下极限结果: ① $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x^{\alpha}}=0(\alpha>0)$. ② 当 $0<a<1$ 时, $\lim _{x \rightarrow+\infty} a^{x}=0, \lim _{x \rightarrow-\infty} a^{x}=+\infty$ （不存在）；当 $a>1$ 时, $\lim _{x \rightarrow-\infty} a^{x}=0, \lim _{x \rightarrow+\infty} a^{x}=+\infty$ （不存在）. ③ $\lim _{x \rightarrow-\infty} \arctan x=-\frac{\pi}{2}, \lim _{x \rightarrow+\infty} \arctan x=\frac{\pi}{2}$.

定理 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=A$ 的充分必要条件是 $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$.

推论 若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x), \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)$ 至少有一个极限不存在或都存在但不相等, 则 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$ 不存在.

例 5 判定 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{|x|}{x}$ 的极限是否存在.

【解】 $\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{|x|}{x}=\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{-x}{x}=-1, \quad \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{|x|}{x}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x}{x}=1$,

所以, $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{|x|}{x}$ 不存在.

例 6 证明 $\lim _{x \rightarrow \infty} \arctan x, \lim _{x \rightarrow \infty} a^{x}(a>0$, 且 $a \neq 1)$ 都不存在.

【证】 因 $\lim _{x \rightarrow-\infty} \arctan x=-\frac{\pi}{2}, \lim _{x \rightarrow+\infty} \arctan x=\frac{\pi}{2}$, 所以 $\lim _{x \rightarrow \infty} \arctan x$ 不存在.

当 $0<a<1$ 时, $\lim _{x \rightarrow-\infty} a^{x}$ 不存在, 则 $\lim _{x \rightarrow \infty} a^{x}$ 不存在.

当 $a>1$ 时, $\lim _{x \rightarrow+\infty} a^{x}$ 不存在, 则 $\lim _{x \rightarrow \infty} a^{x}$ 不存在.

例 7 极限 $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x}$

(A) 等于 1.

(B) 等于 -1.

(C) 为无穷大.

(D) 不存在.

【解】 由于
$\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} = -\lim_{x \to -\infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} = -1, \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} = 1,$
所以极限 $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x}$ 不存在. 答案选 (D).

自变量趋于有限值时函数的极限

定义 若对任意给定的 $\varepsilon > 0$，总存在 $\delta > 0$，当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，恒有 $|f(x) - A| < \varepsilon$，则称常数 $A$ 为函数 $f(x)$ 当 $x \to x_0$ 时的极限，记为 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A$.

【注】

(1) $\varepsilon$ 是用来刻画 $f(x)$ 与 $A$ 的接近程度，$\delta$ 是用来刻画 $x \to x_0$ 这个极限过程.

(2) 几何意义：对任意给定的 $\varepsilon > 0$，总存在 $\stackrel{\circ}{U}(x_0, \delta)$，当 $x \in \stackrel{\circ}{U}(x_0, \delta)$ 时，曲线 $y = f(x)$ 夹在两直线 $y = A - \varepsilon$ 和 $y = A + \varepsilon$ 之间.

(3) 这里 $x \to x_0$，但 $x \neq x_0$。极限 $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 是否存在，如果存在，极限值等于多少，与 $f(x)$ 在 $x = x_0$ 处有没有定义，如果有定义，函数值等于多少无关，只与 $x = x_0$ 的去心邻域 $\stackrel{\circ}{U}(x_0, \delta)$ 函数值有关。而要使 $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在，$f(x)$ 必须在 $x = x_0$ 的某去心邻域 $\stackrel{\circ}{U}(x_0, \delta)$ 处处处有定义.

定义 若对任意给定的 $\varepsilon > 0$，总存在 $\delta > 0$，当 $x_0 - \delta < x < x_0$ 时，恒有 $|f(x) - A| < \varepsilon$，则称常数 $A$ 为函数 $f(x)$ 当 $x \to x_0$ 时的左极限，记为
$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = A, \text{或 } f(x_0^-) = A, \text{或 } f(x_0 - 0) = A.$

定义 若对任意给定的 $\varepsilon > 0$，总存在 $\delta > 0$，当 $x_0 < x < x_0 + \delta$ 时，恒有 $|f(x) - A| < \varepsilon$，则称常数 $A$ 为函数 $f(x)$ 当 $x \to x_0$ 时的右极限，记为
$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = A, \text{或 } f(x_0^+) = A, \text{或 } f(x_0 + 0) = A.$

定理 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A$ 的充分必要条件是 $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = A$.

推论 若 $\lim_{x \to x_0^-} f(x), \lim_{x \to x_0^+} f(x)$ 至少有一个极限不存在，或都存在但不相等，则 $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 不存在.

【注】 需要分左、右极限求极限的问题常见有以下三种：

(1) 分段函数在分界点处的极限，而在该分界点两侧函数表达式不同（这里也包括带有绝对值的函数，如 $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$）；

(2) $e^\infty$ 型极限（如 $\lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x}}, \lim_{x \to \infty} e^x, \lim_{x \to \infty} e^{-x}$）；
$\lim_{x \to 0^-} e^{\frac{1}{x}} = 0, \lim_{x \to 0^+} e^{\frac{1}{x}} = +\infty$，则 $\lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x}}$ 不存在；
$\lim_{x \to -\infty} e^x = 0, \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$，则 $\lim_{x \to \infty} e^x$ 不存在.
【注】 $e^\infty \neq \infty, e^{+\infty} = +\infty, e^{-\infty} = 0$.

(3) $\arctan \infty$ 型极限（如 $\lim_{x \to 0} \arctan \frac{1}{x}, \lim_{x \to \infty} \arctan x$）；

$\lim_{x \to 0^-} \arctan \frac{1}{x} = -\frac{\pi}{2}, \lim_{x \to 0^+} \arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}, \text{则} \lim_{x \to 0} \arctan \frac{1}{x} \text{不存在;}$

$\lim_{x \to -\infty} \arctan x = -\frac{\pi}{2}, \lim_{x \to +\infty} \arctan x = \frac{\pi}{2}, \text{则} \lim_{x \to \infty} \arctan x \text{不存在.}$

【注】 $\arctan \infty \neq \frac{\pi}{2}, \arctan (+\infty) = \frac{\pi}{2}, \arctan (-\infty) = -\frac{\pi}{2}$.

例 8* (2000, 数一) 求 $\lim_{x \to 0} \left( \frac{2 + e^{\frac{1}{x}}}{1 + e^{\frac{1}{x}}} + \frac{\sin x}{|x|} \right)$.

【解】 因函数表达式中含有 $|x|$, 这是分段函数求极限, $x = 0$ 是其分段点, 因而应分别先求左、右极限.

因左极限 = 右极限 = 1, 所以 $\lim_{x \to 0} \left( \frac{2 + e^{\frac{1}{x}}}{1 + e^{\frac{1}{x}}} + \frac{\sin x}{|x|} \right) = 1$.

例 9 设 $f(x) = \begin{cases} 3 - x^2, & |x| \leqslant 1, \\ 1 + x, & |x| > 1, \end{cases}$ 试讨论 $\lim_{x \to -1} f(x), \lim_{x \to 1} f(x)$.

【解】 由题意知 $f(x) = \begin{cases} 1 + x, & x < -1, \\ 3 - x^2, & -1 \leqslant x \leqslant 1, \\ 1 + x, & x > 1, \end{cases}$

由于 $\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} (1 + x) = 0, \lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} (3 - x^2) = 2,$

因 $\lim_{x \to -1^-} f(x) \neq \lim_{x \to -1^+} f(x)$, 所以 $\lim_{x \to -1} f(x)$ 不存在.

由于 $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (3 - x^2) = 2, \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (1 + x) = 2,$

因 $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = 2$, 所以 $\lim_{x \to 1} f(x) = 2$.

例 10 $\lim_{x \to 2} \arctan \frac{1}{x - 2} =$

(A) $0$.

(B) $-\frac{\pi}{2}$.

(C) $\frac{\pi}{2}$.

(D) 不存在.

【解】 因 $\lim_{x \to 2^-} \arctan \frac{1}{x - 2} = -\frac{\pi}{2}, \lim_{x \to 2^+} \arctan \frac{1}{x - 2} = \frac{\pi}{2}$, 所以 $\lim_{x \to 2} \arctan \frac{1}{x - 2}$ 不存在，

故应选 (D).

3. 极限的性质

有界性 （数列）如果数列 $\{x_{n}\}$ 收敛，那么数列 $\{x_{n}\}$ 一定有界.

【注】 反之不成立，反例为 $x_{n}=(-1)^{n}$，显然，该数列有界但不收敛，由此可得有界是数列收敛的必要条件而非充分条件，无界数列一定发散，但发散数列不一定无界.

（函数）若 $\lim_{x \to x_{0}} f(x)$ 存在，则 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 某去心邻域有界（即局部有界）.

【注】 反之不成立，反例为 $f(x)=\sin \frac{1}{x}$，该函数在 $x=0$ 的去心邻域有界，但它在 $x=0$ 处的极限 $\lim_{x \to 0} \sin \frac{1}{x}$ 不存在.

保号性（数列）设 $\lim_{n \to \infty} x_n = A$。

1. 如果 $A > 0$（或 $A < 0$），则存在 $N > 0$，当 $n > N$ 时，$x_n > 0$（或 $x_n < 0$）。

2. 如果存在 $N > 0$，当 $n > N$ 时，$x_n \geq 0$（或 $x_n \leq 0$），则 $A \geq 0$（或 $A \leq 0$）。

【注】

1. 注意结论（1）中是严格不等号（$>$ 或 $<$）；而（2）中是非严格不等号（$\geq$ 或 $\leq$）。

2. 结论（2）中若条件改为：当 $n > N$ 时，$x_n > 0$（或 $x_n < 0$），则结论不变：仍有 $A \geq 0$（或 $A \leq 0$）。例如，$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$。

保号性（函数） 设 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A$。

1. 如果 $A > 0$（或 $A < 0$），则存在 $\delta > 0$，当 $x \in U(x_0, \delta)$ 时，$f(x) > 0$（或 $f(x) < 0$）。

2. 如果存在 $\delta > 0$，当 $x \in U(x_0, \delta)$ 时，$f(x) \geq 0$（或 $f(x) \leq 0$），那么 $A \geq 0$（或 $A \leq 0$）。

【注】

1. 结论（2）中若条件改为：$f(x) > 0$（或 $f(x) < 0$），则结论不变：有 $A \geq 0$（或 $A \leq 0$）。

2. 对于自变量 $x$ 的其他极限过程，也有类似的局部保号性质。

例 11 下列函数在 $(0,+\infty)$ 内有界的是

(A) $e^{\frac{1}{x}}$.

(B) $\ln x$.

(C) $\arctan \frac{1}{x}$.

(D) $\frac{x^{2}}{x+1}$.

【解】 因 $\lim_{x \to 0^{+}} e^{\frac{1}{x}}=+\infty$, $\lim_{x \to +\infty} \ln x=+\infty$, $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^{2}}{x+1}=+\infty$,

则 $e^{\frac{1}{x}}, \ln x, \frac{x^{2}}{x+1}$ 在 $(0,+\infty)$ 内都无界.

而 $\left|\arctan \frac{1}{x}\right| \leqslant \frac{\pi}{2}$, 则 $\arctan \frac{1}{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 内有界.

故应选 (C).

例 12 若 $f(x)>g(x)$，且 $\lim_{x \to x_{0}} f(x)=A$, $\lim_{x \to x_{0}} g(x)=B$, 则

(A) $A>B$.

(B) $A \geqslant B$.

(C) $|A|>|B|$.

(D) $|A| \geqslant |B|$.

【解】 令 $h(x)=f(x)-g(x)$，则 $h(x)>0$, $\lim_{x \to x_{0}} h(x)=A-B$, 由极限的保号性知，$A-B \geqslant 0$，即 $A \geqslant B$. 故应选 (B).

【评注】 此题结论可直接用，是极限的不等式性质.

例 13 (2014, 数三) 设 $\lim_{n \to \infty} a_n = a$，且 $a \neq 0$，则当 $n$ 充分大时有

(A) $|a_n| > \frac{|a|}{2}$.

(B) $|a_n| < \frac{|a|}{2}$.

(C) $a_n > a - \frac{1}{n}$.

(D) $a_n < a + \frac{1}{n}$.

方法一 因 $\lim_{n \to \infty} a_n = a$，由数列极限的定义知，对 $\varepsilon = \frac{|a|}{2} > 0$，存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，有 $|a_n - a| < \frac{|a|}{2}$，
又 $|a| = |a - a_n + a_n| \le |a_n - a| + |a_n| < \frac{|a|}{2} + |a_n|$，
从而有 $|a_n| > |a| - \frac{|a|}{2} = \frac{|a|}{2}$。故应选 (A)。

方法二 由 $\lim_{n \to \infty} a_n = a$，知 $\lim_{n \to \infty} |a_n| = |a|$，
则 $\lim_{n \to \infty} (|a_n| - \frac{|a|}{2}) = \frac{|a|}{2} > 0$，由极限的保号性知，
当 $n$ 充分大时，$|a_n| - \frac{|a|}{2} > 0$，即 $|a_n| > \frac{|a|}{2}$。故应选 (A)。

方法三 举反例：$a_n = -1$，排除 (B)；$a_n = 1 - \frac{1}{n}$，排除 (C)；$a_n = 1 + \frac{1}{n}$，排除 (D)。

例 14 (2004, 数三) 函数 $f(x) = \frac{|x| \sin(x-2)}{x(x-1)(x-2)^2}$ 在下列哪个区间内有界

(A) $(-1, 0)$.

(B) $(0, 1)$.

(C) $(1, 2)$.

(D) $(2, 3)$.

【解】 由函数极限的局部有界性质知，若 $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某去心邻域内有界；若 $\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty$，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 附近无界。

由题意知 $f(x)$ 在 $(-1, 0), (0, 1), (1, 2), (2, 3)$ 内都连续。
因此只需考虑 $f(x)$ 在区间端点的极限是否存在即可。

• 选项 (A)，因 $f(x)$ 在 $x = -1$ 连续，则 $\lim_{x \to -1} f(x) = f(-1)$。
  $\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} \frac{-x \sin(x-2)}{x(x-1)(x-2)^2} = \lim_{x \to -1^+} \frac{-\sin(x-2)}{(x-1)(x-2)^2} = -\frac{\sin 2}{4}$，
  所以，$f(x)$ 在 $(-1, 0)$ 内有界。

• 选项 (B)(C)(D)，$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x \sin(x-2)}{x(x-1)(x-2)^2} = \lim_{x \to 1} \frac{\sin(x-2)}{(x-1)(x-2)^2} = \infty$，
  $\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{x \sin(x-2)}{x(x-1)(x-2)^2} = \lim_{x \to 2} \frac{\sin(x-2)}{(x-1)(x-2)^2}$
  $\qquad \qquad = \lim_{x \to 2} \frac{x-2}{(x-1)(x-2)^2} = \lim_{x \to 2} \frac{1}{(x-1)(x-2)} = \infty$，
  所以，$f(x)$ 在 $(0, 1), (1, 2), (2, 3)$ 内都无界。

故应选 (A)。

【评注】 若 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内连续
$\begin{cases} \lim_{x \to a^+} f(x), \lim_{x \to b^-} f(x) \text{ 都存在 } \Rightarrow f(x) \text{ 在 } (a, b) \text{ 内有界} \\ \lim_{x \to a^+} f(x), \lim_{x \to b^-} f(x) \text{ 至少有一个为无穷大 } \Rightarrow f(x) \text{ 在 } (a, b) \text{ 内无界} \end{cases}$

4. 函数极限与数列极限的关系

定理 若 $\lim\limits_{x \to x_{0}} f(x) = A$, 则对任意数列 $\{x_{n}\}$, $\lim\limits_{n \to \infty} x_{n} = x_{0}$, 且 $x_{n} \neq x_{0}$, 都有 $\lim\limits_{n \to \infty} f(x_{n}) = A$.

例 15

求极限 $\lim\limits_{n \to \infty} \tan^{n}\left(\frac{\pi}{4} + \frac{2}{n}\right)$.

【解】

考虑 $\lim\limits_{x \to 0^{+}} \left[\tan\left(\frac{\pi}{4} + 2x\right)\right]^{\frac{1}{x}} = \mathrm{e}^{\lim\limits_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \left[\tan\left(\frac{\pi}{4} + 2x\right) - 1\right]}$,

而 $\lim\limits_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}\left[\tan\left(\frac{\pi}{4} + 2x\right) - 1\right] = \lim\limits_{x \to 0^{+}} 2\sec^{2}\left(\frac{\pi}{4} + 2x\right) = 4$,

所以 $\lim\limits_{n \to \infty} \tan^{n}\left(\frac{\pi}{4} + \frac{2}{n}\right) = \mathrm{e}^{4}$.

【评注】

可直接按数列 $1^{\infty}$ 型计算.