（一）无穷小量

1. 无穷小量的概念

若函数 $f(x)$ 当 $x \to x_{0}$（或 $x \to \infty$）时的极限为零，则称 $f(x)$ 为 $x \to x_{0}$（或 $x \to \infty$）时的无穷小量.

(1) 以 $0$ 为极限的变量，称为无穷小量.

(2) 提到无穷小量，必须指明极限过程.

(3) 若 $\lim\limits_{n \to \infty} x_{n} = 0$，则称数列 $\{x_{n}\}$ 为无穷小量.

2. 无穷小的性质

• 有限个无穷小的和仍是无穷小.
• 有限个无穷小的积仍是无穷小.
• 无穷小量与有界量的积仍是无穷小.

(1) 以上前两条中的“有限”二字不能少.

(2) 两个无穷小的商不一定是无穷小.

例 16

$\lim\limits_{x \to 0} x^{2}\left(4\sin \frac{1}{x} - 3\right) = \_\_\_$.

【解】

因 $\lim\limits_{x \to 0} x^{2} = 0$，当 $x \to 0$ 时，$x^{2}$ 是无穷小，
而 $\left|4\sin \frac{1}{x} - 3\right| \leqslant 7$，$4\sin \frac{1}{x} - 3$ 是有界量，所以，$\lim\limits_{x \to 0} x^{2}\left(4\sin \frac{1}{x} - 3\right) = 0$.

3. 无穷小的比较

设 $\alpha, \beta$ 是在同一个极限过程中的无穷小，$\alpha \neq 0$.

(1) 若 $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\beta}{\alpha} = 0$，则称 $\beta$ 是比 $\alpha$ 高阶的无穷小，记作 $\beta = o(\alpha)$；

(2) 若 $\lim \frac{\beta}{\alpha} = \infty$，则称 $\beta$ 是比 $\alpha$ 低阶的无穷小；

(3) 若 $\lim \frac{\beta}{\alpha} = c \neq 0$，则称 $\beta$ 与 $\alpha$ 是同阶无穷小；

(4) 若 $\lim \frac{\beta}{\alpha} = 1$，则称 $\beta$ 与 $\alpha$ 是等价无穷小，记作 $\alpha \sim \beta$；

(5) 若 $\lim \frac{\beta}{\alpha^k} = c \neq 0$，则称 $\beta$ 是 $\alpha$ 的 $k$ 阶无穷小.

【注】当 $x \to 0$ 时，$\sin x \sim x$, $\ln(1+x) \sim x$, $e^x - 1 \sim x$, $1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$, $\sqrt[3]{1+x} - 1 \sim \frac{1}{3}x$, $x - \sin x \sim \frac{1}{6}x^3$, $x - \arcsin x \sim -\frac{1}{6}x^3$, $x - \arctan x \sim \frac{1}{3}x^3$, $x - \tan x \sim -\frac{1}{3}x^3$, $x - \ln(1+x) \sim \frac{1}{2}x^2$.

例 17（2013，数二） 设 $\cos x - 1 = x \sin \alpha(x)$，其中 $|\alpha(x)| < \frac{\pi}{2}$，则当 $x \to 0$ 时，$\alpha(x)$ 是

(A) 比 $x$ 高阶的无穷小.

(B) 比 $x$ 低阶的无穷小.

(C) 与 $x$ 同阶但不等价的无穷小.

(D) 与 $x$ 等价的无穷小.

【解】由 $\cos x - 1 = x \sin \alpha(x)$ 知，当 $x \to 0$ 时，$x \sin \alpha(x) = \cos x - 1 \sim -\frac{1}{2}x^2$，则 $\sin \alpha(x) \sim -\frac{1}{2}x$，又 $\sin \alpha(x) \sim \alpha(x)$，于是

所以，$\alpha(x)$ 与 $x$ 是同阶但不等价的无穷小，故应选 (C).

例 18（2001，数二） 设当 $x \to 0$ 时，$(1 - \cos x) \ln(1 + x^2)$ 是比 $x \sin x^n$ 高阶的无穷小，而 $x \sin x^n$ 是比 $(e^{x^2} - 1)$ 高阶的无穷小，则正整数 $n$ 等于

(A) 1.

(B) 2.

(C) 3.

(D) 4.

【解】当 $x \to 0$ 时

由题设可知 $2 < n+1 < 4$，则 $n = 2$，故选 (B).

例 19（2019，数一、二） 当 $x \to 0$ 时，若 $x - \tan x$ 与 $x^k$ 是同阶无穷小，则 $k =$

(A) 1.

(B) 2.

(C) 3.

(D) 4.

【解】

= $\lim_{x \to 0} \frac{-1}{kx^{k-3}}$，极限存在为非零常数（同阶无穷小）

则 $k = 3$，故应选（C）.

【评注】记住结论 $x - \tan x \sim -\frac{1}{3}x^3$ ($x \to 0$)，或用选择题代入法.

例 20 (2009，数一、二、三) 当 $x \to 0$ 时，$f(x) = x - \sin ax$ 与 $g(x) = x^2 \ln(1 - bx)$ 是等价无穷小，则

(A) $a = 1, b = -\frac{1}{6}$.

(B) $a = 1, b = \frac{1}{6}$.

(C) $a = -1, b = -\frac{1}{6}$.

(D) $a = -1, b = \frac{1}{6}$.

【解】由题意知 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$，即

则 $b = -\frac{1}{6}$，所以 $a = 1, b = -\frac{1}{6}$，故应选（A）.

【评注】本题还可用选择题代入法或其他方法作答.

例 21(2007，数三) 当 $x \to 0^+$ 时，与 $\sqrt{x}$ 是等价无穷小的是

(A) $1 - e^{\sqrt{x}}$.

(B) $\ln(1 + \sqrt{x})$.

(C) $\sqrt{1 + \sqrt{x}} - 1$.

(D) $1 - \cos \sqrt{x}$.

【解】当 $x \to 0^+$ 时，$1 - e^{\sqrt{x}} = - (e^{\sqrt{x}} - 1) \sim -\sqrt{x}$，$\sqrt{1 + \sqrt{x}} - 1 \sim \frac{1}{2}\sqrt{x}$，可知选项（A）（C）都是与 $\sqrt{x}$ 同阶但不等价的无穷小. 而 $1 - \cos \sqrt{x} \sim \frac{1}{2} x$，则（D）选项是 $\sqrt{x}$ 的高阶无穷小. 由 $\ln(1 + \sqrt{x}) \sim \sqrt{x}$ 知（B）选项是与 $\sqrt{x}$ 等价的无穷小. 故应选（B）.

例 22 设 $f(x) = \frac{1}{x^2} \sin x$, $g(x) = \frac{1}{x^2}$，则当 $x \to \infty$ 时，$f(x)$ 是 $g(x)$ 的

(A) 高阶无穷小.

(B) 低阶无穷小.

(C) 等价无穷小.

(D) 同阶但非等价无穷小.

$\text{【解】} \quad \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^2} \sin x}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \sin x = 0$

则当 $x \to \infty$ 时，$f(x)$ 是比 $g(x)$ 高阶的无穷小，故应选 (A).

例 23 （1998，数二）设数列 $\{x_n\}$ 与 $\{y_n\}$ 满足 $\lim_{n \to \infty} x_n y_n = 0$，则下列断言正确的是

(A) 若 $\{x_n\}$ 发散，则 $\{y_n\}$ 必发散.

(B) 若 $\{x_n\}$ 无界，则 $\{y_n\}$ 必有界.

(C) 若 $\{x_n\}$ 有界，则 $\{y_n\}$ 必为无穷小.

(D) 若 $\left\{\frac{1}{x_n}\right\}$ 为无穷小，则 $\{y_n\}$ 必为无穷小.

$\text{【解】}$ （A）（B）（C）选项都不正确，可举反例说明：

如取 $x_n = n, y_n = 0$，则 $\lim_{n \to \infty} x_n y_n = 0$，$\{x_n\}$ 发散，但 $\{y_n\}$ 收敛，故 (A) 不对.

取 $x_n = \begin{cases} n, & n \text{ 为奇数} \\ 0, & n \text{ 为偶数} \end{cases}$，$y_n = \begin{cases} 0, & n \text{ 为奇数} \\ n, & n \text{ 为偶数} \end{cases}$，则 $x_n y_n = 0$，$\{x_n\}, \{y_n\}$ 都无界，所以 (B) 不对.

取 $x_n = \frac{1}{n^2}, y_n = n$，则 $\lim_{n \to \infty} x_n y_n = 0$，$\{x_n\}$ 有界，但 $\lim_{n \to \infty} y_n = +\infty$，$\{y_n\}$ 不是无穷小，因而 (C) 不对.

而选项 (D) 正确. 若 $\left\{\frac{1}{x_n}\right\}$ 为无穷小，$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{x_n} = 0$，

从而 $\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} x_n y_n \cdot \frac{1}{x_n} = \lim_{n \to \infty} x_n y_n \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{x_n} = 0$，

所以 $\{y_n\}$ 为无穷小，故选 (D).

例 24 （2016，数二）设 $\alpha_1 = x(\cos \sqrt{x} - 1)$，$\alpha_2 = \sqrt{x} \ln (1 + \sqrt[3]{x})$，$\alpha_3 = \sqrt[3]{x+1} - 1$。当 $x \to 0^+$ 时，以上 3 个无穷小量从低阶到高阶的排序是

(A) $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3.$

(B) $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_1.$

(C) $\alpha_2, \alpha_1, \alpha_3.$

(D) $\alpha_3, \alpha_2, \alpha_1.$

$\text{【解】} \quad$ 当 $x \to 0^+$ 时

则以上 3 个无穷小量从低阶到高阶的排序是 $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_1$，故选 (B).

4. 极限值与无穷小之间的关系

其中 $\lim \alpha(x) = 0$.

例 25 已知 $\lim_{x \to 0} \left[\frac{f(x) - 1}{x} - \frac{\sin x}{x^2}\right] = 2$，则 $\lim_{x \to 0} f(x) = \underline{\quad}$.

$\text{【解】} \quad$ 由 $\lim_{x \to 0} \left[\frac{f(x) - 1}{x} - \frac{\sin x}{x^2}\right] = 2$ 得

$\frac{f(x)-1}{x}-\frac{\sin x}{x^{2}}=2+\alpha(x), \text { 其中 } \lim _{x \rightarrow 0} \alpha(x)=0,$

由上式解得 $f(x)=2x+x\alpha(x)+\frac{\sin x}{x}+1,$

则 $\lim _{x \rightarrow 0}[2 x+x \alpha(x)+\frac{\sin x}{x}+1]=2.$

（二）无穷大量

1. 无穷大量的概念

若函数 $f(x)$ 当 $x \rightarrow x_{0}$（或 $x \rightarrow \infty$）时趋向于无穷，则称 $f(x)$ 为 $x \rightarrow x_{0}$（或 $x \rightarrow \infty$）时的无穷大量. 即：若对任意给定的 $M > 0$，总存在 $\delta > 0$，当 $0 < |x - x_{0}| < \delta$ 时，恒有 $|f(x)| > M$，则称 $f(x)$ 为 $x \rightarrow x_{0}$ 时的无穷大量. 记为 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) = \infty$。

例 26 设 $y = e^{-\frac{1}{x}}$ 是无穷大量，则 $x$ 的变化过程是

(A) $x \rightarrow 0^{+}$. （B）$x \rightarrow 0^{-}$. （C）$x \rightarrow +\infty$. （D）$x \rightarrow -\infty$.

【解】 由于 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \left(-\frac{1}{x}\right) = -\infty$, $\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \left(-\frac{1}{x}\right) = +\infty$, $\lim _{x \rightarrow +\infty} \left(-\frac{1}{x}\right) = 0$, $\lim _{x \rightarrow -\infty} \left(-\frac{1}{x}\right) = 0$，
则 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} e^{-\frac{1}{x}} = 0$, $\lim _{x \rightarrow 0^{-}} e^{-\frac{1}{x}} = +\infty$, $\lim _{x \rightarrow +\infty} e^{-\frac{1}{x}} = 1$, $\lim _{x \rightarrow -\infty} e^{-\frac{1}{x}} = 1$.
故应选 (B).

2. 无穷大量的性质

(1) 两个无穷大量的积仍为无穷大量.

(2) 无穷大量与有界变量之和仍为无穷大量.

(3) 无穷大量与非零常数乘积仍为无穷大量.

例 27 若 $\lim _{x \rightarrow a} f(x) = \infty$, $\lim _{x \rightarrow a} g(x) = \infty$，则必有

(A) $\lim _{x \rightarrow a} [f(x) + g(x)] = \infty$.

（B）$\lim _{x \rightarrow a} [f(x) - g(x)] = 0$.

(C) $\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$.

（D）$\lim _{x \rightarrow a} k f(x) = \infty$ ($k$ 为非零常数).

【解】 由性质知选项 (D) 正确. 对于选项 (A)(B)(C) 可举反例排除.
如 $x \rightarrow 0$ 时，令 $f(x) = \frac{1}{x}$, $g(x) = -\frac{1}{x}$ 是无穷大量，
则 $\lim _{x \rightarrow 0} [f(x) + g(x)] = 0$, $\lim _{x \rightarrow 0} [f(x) - g(x)] = \infty$, $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{g(x)} = -1$,
可见选项 (A)(B)(C) 不正确，故应选 (D).

3. 常用的一些无穷大量的比较

(1) 当 $x \rightarrow +\infty$ 时

【注】这些结论可以用洛必达法则证明。

(2) 当 $n \to \infty$ 时

例28 （2010，数三） 设 $f(x) = \ln^{10} x, g(x) = x, h(x) = e^{\frac{x}{10}}$，则当 $x$ 充分大时，有

(A) $g(x) < h(x) < f(x)$.

(B) $h(x) < g(x) < f(x)$.

(C) $f(x) < g(x) < h(x)$.

(D) $g(x) < f(x) < h(x)$.

【解】 由于当 $x \to +\infty$ 时

则当 $x$ 充分大时，有 $\ln^{10} x \ll x \ll e^{\frac{x}{10}}$，即 $f(x) < g(x) < h(x)$.

故应选 (C).

4. 无穷大量与无界变量的关系

我们以数列为例说明无穷大量与无界变量的关系。首先回忆这两个概念：

(1) 数列 $\{x_n\}$ 是无穷大量：$\forall M > 0, \exists N > 0$，当 $n > N$ 时，恒有 $|x_n| > M$.

(2) 数列 $\{x_n\}$ 是无界变量：$\forall M > 0, \exists N > 0$，使 $|x_N| > M$.

由以上两个定义不难看出，无穷大量必为无界变量，而无界变量不一定是无穷大量.

【注】 函数情形下，无穷大量和无界变量也有类似结论.

例29 当 $n \to \infty$ 时，数列 $\{x_n\}: 1, 0, 3, 0, 5, 0, \ldots, 2n-1, 0, \ldots$ 是

(A) 无穷小量.

(B) 无穷大量.

(C) 有界变量.

(D) 无界变量.

【解】 当 $n$ 为奇数时，$x_n = n$，此时 $\lim_{n \to \infty} x_n = +\infty$，由此可见，数列 $\{x_n\}$ 是无界变量，从而排除选项 (A)(C).

当 $n$ 为偶数时，$x_n = 0$，此时 $\lim_{n \to \infty} x_n = 0$，由此可见，数列 $\{x_n\}$ 不是无穷大量，从而排除选项 (B).

故应选 (D).

（三）无穷大量与无穷小量的关系

在同一极限过程中，如果 $f(x)$ 是无穷大，则 $\frac{1}{f(x)}$ 是无穷小；反之，如果 $f(x)$ 是无穷小，且 $f(x) \neq 0$，则 $\frac{1}{f(x)}$ 是无穷大.

【注】 若 $f(x) \equiv 0$ 是 $x \to x_0$ 时的无穷小量，但 $\frac{1}{f(x)}$ 无意义，所以不是无穷大量.

例30 （1993，数三） 当 $x \to 0$ 时，变量 $\frac{1}{x^2} \sin \frac{1}{x}$ 是

(A) 无穷小.

(B) 无穷大.

(C) 有界的，但不是无穷小.

(D) 无界的，但不是无穷大.

【解】 取 $x_n = \frac{1}{2n\pi + \frac{\pi}{2}}$，则

$\frac{1}{x_{n}^{2}} \sin \frac{1}{x_{n}}=\left(2 n \pi+\frac{\pi}{2}\right)^{2} \sin \left(2 n \pi+\frac{\pi}{2}\right)=\left(2 n \pi+\frac{\pi}{2}\right)^{2},$
则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{x_{n}^{2}} \sin \frac{1}{x_{n}}=+\infty,$
从而当 $x \rightarrow 0$ 时, $\frac{1}{x^{2}} \sin \frac{1}{x}$ 不是无穷小, 但无界, 故 (A)(C) 不正确.
再取 $y_{n}=\frac{1}{2 n \pi}$, 则 $\frac{1}{y_{n}^{2}} \sin \frac{1}{y_{n}}=(2 n \pi)^{2} \sin 2 n \pi=0,$
则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{y_{n}^{2}} \sin \frac{1}{y_{n}}=0$, 则 $x \rightarrow 0$ 时, $\frac{1}{x^{2}} \sin \frac{1}{x}$ 不是无穷大, (B) 不对.
故应选 (D).