一、连续性的概念

定义 1 设 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义，若

则称 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续，并称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的连续点.

定义 2 设 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义，若 $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$，则称 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续，$x_0$ 为 $f(x)$ 的连续点.

注：

1. 以上两个定义是等价的.

2. 由定义 2 可知，$f(x)$ 在 $x_0$ 点连续 $\Leftrightarrow$

以上三条都成立，缺一不可.

3. $f(x)$ 在 $x_0$ 点连续 $\Rightarrow f(x)$ 在 $x_0$ 点极限存在，但反之不成立.

定义 3 若 $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$，则称 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处左连续；

若 $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$，则称 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处右连续.

定理 函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续的充要条件是 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处既左连续又右连续.

注 此定理常用于考查分段函数在分界点的连续性：即考虑左、右极限及函数值，若三者相等，则连续；否则，就不连续.

定义 4 如果 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内每点都连续，则称 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内连续. 若 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内连续，在 $x = a$ 处右连续，在 $x = b$ 处左连续，则称 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续.

例 1 补充定义 $f(0)$，使 $f(x) = \dfrac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{x}$ 在 $x = 0$ 处连续.

解

由连续定义知，$f(x)$ 在 $x = 0$ 点连续 $\Leftrightarrow \lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$.

则

所以，当 $f(0) = 1$ 时，$f(x)$ 在 $x = 0$ 处连续.

例 2 判断函数 $f(x) = \begin{cases} \frac{\ln(1+x)}{x}, & -1 < x < 0, \\ 2, & x = 0, \\ \frac{2\sin\frac{x}{2}}{x}, & x > 0 \end{cases}$ 在 $x = 0$ 点的连续性.

解 $f(x)$ 是分段函数, $x = 0$ 是其分界点, 考虑连续性应先求左、右极限、函数值.

而 $f(0) = 2$, 则 $\lim_{x \to 0} f(x) \neq f(0)$, 所以 $f(x)$ 在 $x = 0$ 点不连续.

例 3 (2002, 数二) 设函数 $f(x) = \begin{cases} \frac{1-e^{\tan x}}{x}, & x > 0, \\ \arcsin\frac{x}{2}, & x = 0 \\ ae^{2x}, & x \leqslant 0 \end{cases}$ 在 $x = 0$ 处连续, 则 $a =$ _______.

【解】 要使分段函数 $f(x)$ 在分界点 $x = 0$ 处连续，只需 $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$ 即可.

当 $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$, 即 $a = -2$ 时, $f(x)$ 在 $x = 0$ 处连续.

例 4 试讨论 $f(x) = \begin{cases} x^\alpha \sin\frac{1}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ 在 $x = 0$ 处的连续性 ($\alpha$ 为常数).

【解】 因 $f(x)$ 在 $x = 0$ 的左、右方表示式相同, 故不必讨论左右极限.

所以，当 $\alpha > 0$ 时, $\lim_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0)$, 则 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处连续；

当 $\alpha \leqslant 0$ 时, $\lim_{x \to 0} f(x)$ 不存在，则 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处不连续.

例 5 (2008, 数二) 设 $f(x)$ 连续, $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos \left[xf(x)\right]}{(e^x-1)f(x)} = 1$，则 $f(0) =$ _______.

【解】

则 $f(0) = 2$.

得 $\lim \limits_{x \to 0} f(x) = 2$.

由 $f(x)$ 连续，则 $f(0) = \lim \limits_{x \to 0} f(x) = 2$.

例 6 （2003，数三）设 $f(x) = \frac{1}{\pi x} + \frac{1}{\sin \pi x} - \frac{1}{\pi(1-x)}, x \in \left[\frac{1}{2}, 1\right)$，试补充定义 $f(1)$，使得 $f(x)$ 在 $\left[\frac{1}{2}, 1\right]$ 上连续.

【解】显然 $f(x)$ 在 $\left[\frac{1}{2}, 1\right)$ 内连续，要使 $f(x)$ 在 $\left[\frac{1}{2}, 1\right]$ 上连续，只需 $f(x)$ 在 $x = 1$ 点左连续即可，即 $\lim \limits_{x \to 1^-} f(x) = f(1)$.

$\begin{aligned} \lim \limits_{x \to 1^-} f(x) &= \lim \limits_{x \to 1^-} \frac{1}{\pi x} + \lim \limits_{x \to 1^-} \left[\frac{1}{\sin \pi x} - \frac{1}{\pi(1-x)}\right] \\ &= \frac{1}{\pi} + \lim \limits_{x \to 1^-} \frac{\pi(1-x) - \sin \pi x}{\pi(1-x)\sin \pi x} \\ &\text{令 } 1-x = t \quad \frac{1}{\pi} + \lim \limits_{t \to 0^+} \frac{\pi t - \sin(\pi - \pi t)}{\pi t \sin(\pi - \pi t)} \\ &= \frac{1}{\pi} + \lim \limits_{t \to 0^+} \frac{\pi t - \sin \pi t}{\pi t \sin \pi t} \\ &= \frac{1}{\pi} + \lim \limits_{t \to 0^+} \frac{\pi - \pi \cos \pi t}{2\pi^2 t} \\ &= \frac{1}{\pi} + \lim \limits_{t \to 0^+} \frac{\pi^2 \sin \pi t}{2\pi^2} = \frac{1}{\pi} + 0 = \frac{1}{\pi}. \end{aligned}$

因此，定义 $f(1) = \frac{1}{\pi}$，有 $\lim \limits_{x \to 1^-} f(x) = f(1)$，则 $f(x)$ 在 $x = 1$ 点连续，从而 $f(x)$ 在 $\left[\frac{1}{2}, 1\right]$ 上连续.