中值定理

费马定理

设 $f(x)$ 在 $x = x_0$ 的某邻域 $U(x_0)$ 内有定义，$f(x_0)$ 是 $f(x)$ 的一个极大（极小）值，又设 $f'(x_0)$ 存在，则 $f'(x_0) = 0$.

本定理实际上就是可导条件下极值点的必要条件.

罗尔定理

设 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开区间 $(a, b)$ 内可导，又设 $f(a) = f(b)$，则至少存在一点 $\xi \in (a, b)$ 使 $f'(\xi) = 0$.

【注】 罗尔定理中的 $\xi$，实际上就是 $f(x)$ 的极值点.

例 1 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内具有二阶导数，且在 $(a, b)$ 内存在相等的最大值. 又设 $f(a) = g(a)$，$f(b) = g(b)$。试证明：存在 $\xi \in (a, b)$ 使得 $f''(\xi) = g''(\xi)$.

【证】 令 $\varphi(x) = f(x) - g(x)$，由题设有 $\varphi(a) = 0$，$\varphi(b) = 0$。又由题设，$f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $(a, b)$ 内存在相等的最大值. 不妨设 $x_1 \in (a, b)$，$x_2 \in (a, b)$，使

且

于是

若 $\varphi(x_1) = 0$ 或 $\varphi(x_2) = 0$，则取 $\eta = x_1$ 或 $x_2$，有 $\varphi(\eta) = 0$。若 $\varphi(x_1) > 0$，$\varphi(x_2) < 0$，则由零点定理，存在 $\eta$ 介于 $x_1$ 与 $x_2$ 之间，使 $\varphi(\eta) = 0$。总之，不论何种情况，均推知存在 $\eta \in (a, b)$ 使 $\varphi(\eta) = 0$。

由 $\varphi(x)$ 在 $[a, b]$ 上有 3 个零点 $a, \eta, b$。在区间 $[a, \eta]$ 与 $[\eta, b]$ 上分别用罗尔定理知，存在 $\xi_1 \in (a, \eta)$ 与 $\xi_2 \in (\eta, b)$ 使 $\varphi'(\xi_1) = \varphi'(\xi_2) = 0$。再在 $[\xi_1, \xi_2]$ 上用罗尔定理推知，存在 $\xi \in (\xi_1, \xi_2) \subset (a, b)$ 使 $\varphi''(\xi) = 0$，即 $f''(\xi) = g''(\xi)$。证毕.

例 2 设 $f(x)$ 在闭区间 $[0, a]$ 上连续，在开区间 $(0, a)$ 内可导，且 $f(a) = 0$，证明必有

一点 $\xi \in (0,a)$，使得 $f(\xi)+\xi f^{\prime}(\xi)=0$.

【证】 令 $F(x)=x f(x)$，已知 $F(x)$ 在闭区间 $[0, a]$ 上连续，在开区间 $(0, a)$ 内可导，且 $F(a)=F(0)=0$，由罗尔定理，至少存在一个 $\xi \in (0, a)$，使得 $F^{\prime}(\xi)=0$，即

本题可直接看出 $f(\xi)+\xi f^{\prime}(\xi)=\left[x f(x)\right]^{\prime} \mid_{x=\xi}$，因而构造辅助函数 $F(x)=x f(x)$，一般来说，应掌握构造辅助函数的方法（包括原函数法及微分方程法）.

例 3

设 $a_1 + a_2 + \cdots + a_n = 0$，求证方程 $n a_n x^{n-1} + (n-1) a_{n-1} x^{n-2} + \cdots + 2 a_2 x + a_1 = 0$ 在 $(0,1)$ 内至少有一个实根.

【分析】 令 $f(x) = n a_n x^{n-1} + (n-1) a_{n-1} x^{n-2} + \cdots + 2 a_2 x + a_1$，在 $(0,1)$ 上不满足零点定理.

考虑构造 $f'(x) = n a_n x^{n-1} + (n-1) a_{n-1} x^{n-2} + \cdots + 2 a_2 x + a_1$.

【证】 令 $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x$， $f(x)$ 在闭区间 $[0, 1]$ 上连续，在开区间 $(0, 1)$ 内可导，且 $f(0) = 0$， $f(1) = a_1 + a_2 + \cdots + a_n = 0$，由罗尔定理，至少存在一个 $\xi \in (0, 1)$，使得 $f^{\prime}(\xi) = 0$，即

故方程 $n a_n x^{n-1} + (n-1) a_{n-1} x^{n-2} + \cdots + 2 a_2 x + a_1 = 0$ 在 $(0, 1)$ 内至少有一个实根.

本题看上去是一个方程根的存在性问题，实际需要用罗尔定理.

拉格朗日中值定理

设 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开区间 $(a, b)$ 内可导，则至少存在一点 $\xi \in (a, b)$ 使

拉格朗日中值定理常用的是下述形式：在定理条件下，设 $x_0$, $x$ 是 $[a, b]$ 上的任意两点，则至少存在一点 $\xi$ 介于 $x_0$ 与 $x$ 之间，使

这里可以 $x_0 < x$，也可以 $x_0 > x$.

令 $\theta = \frac{\xi - x_0}{x - x_0}$，则 $0 < \theta < 1$，拉格朗日中值公式又可写成

例 4

（2013，数三）设函数 $f(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 上可导，且 $f(0) = 0$, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2$，证明：

1. 存在 $a > 0$，使得 $f(a) = 1$；

2. 对 (1) 中的 $a$，存在 $\xi \in (0, a)$，使得 $f'(\xi) = \frac{1}{a}$.

【证】

1. 令 $F(x) = f(x) - 1$，显然其在 $[0, +\infty)$ 上连续，且

   $$F(0) = f(0) - 1 = -1 < 0, \quad F(+\infty) = \lim F(x) = \lim f(x) - 1 = 1 > 0,$$

   由连续函数的广义零点定理知，存在 $a > 0$，使得 $F(a) = 0$，即 $f(a) = 1$.

2. 由题意知 $f(x)$ 在 $[0, a]$ 上连续，在 $(0, a)$ 内可导，所以 $f(x)$ 在 $[0, a]$ 上满足拉格朗日

日中值定理，则存在 $\xi \in (0,a)$，使得 $f'(\xi) = \frac{f(a) - f(0)}{a}$，用(1)中结果 $f(a) = 1$，有 $f'(\xi) = \frac{1}{a}$.

例 5 (1990, 数一、二) 设不恒为常数的函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，在开区间 $(a,b)$ 内可导，且 $f(a) = f(b)$，证明至少存在一点 $\xi \in (a,b)$，使得 $f'(\xi) > 0$。

【证】函数 $f(x)$ 不恒为常数，则 $\exists c \in (a,b), f(c) \neq f(a) = f(b)$，若 $f(c) > f(a) = f(b)$，$f(x)$ 在区间 $[a,c]$ 上用拉格朗日中值定理，$\exists \xi_1 \in (a,c)$，使 $f'(\xi_1) = \frac{f(c) - f(a)}{c - a} > 0$，取 $\xi = \xi_1$；若 $f(c) < f(a) = f(b)$，$f(x)$ 在区间 $[c,b]$ 上用拉格朗日中值定理，$\exists \xi_2 \in (c,b)$，使 $f'(\xi_2) = \frac{f(b) - f(c)}{b - c} > 0$，取 $\xi = \xi_2$。所以，至少存在一点 $\xi \in (a,b)$，使得 $f'(\xi) > 0$。

也可利用反证法证明。

例 6 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上二阶可导，$f(a) = f(b) = 0$，且存在 $c \in (a,b)$，使 $f(c) < 0$。试证存在 $\xi, \eta \in (a,b)$，使得 $f'(\xi) < 0$，$f''(\eta) > 0$。

【证】$f(x)$ 在 $[a,c]$ 上用拉格朗日中值定理，$\exists \xi \in (a,c)$，使 $f'(\xi) = \frac{f(c)}{c - a} < 0$。$f(x)$ 在 $[c,b]$ 上用拉格朗日中值定理，$\exists \xi_1 \in (c,b)$，使 $f'(\xi_1) = \frac{-f(c)}{b - c} > 0$，$\xi_1 > \xi$。$f'(x)$ 在 $[\xi, \xi_1]$ 上用拉格朗日中值定理，存在 $\eta \in (\xi, \xi_1) \subset (a,b)$，使 $f''(\eta) = \frac{f'(\xi_1) - f'(\xi)}{\xi_1 - \xi} > 0$。

例 7 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0) = 0$，$f(1) = 1$。常数 $a > 0$，$b > 0$。证明：

(1) 存在 $\xi \in (0,1)$，使 $f(\xi) = \frac{a}{a + b}$。

(2) 存在 $\eta, \zeta \in (0,1)$，$\eta \neq \zeta$，使 $\frac{a}{f'(\eta)} + \frac{b}{f'(\zeta)} = a + b$。

【证】

(1) 用连续函数的零点定理，命 $\varphi(x) = f(x) - \frac{a}{a + b}$，有 $\varphi(0) < 0$，$\varphi(1) > 0$，故知存在 $\xi \in (0,1)$ 使 $\varphi(\xi) = 0$，即有 $f(\xi) = \frac{a}{a + b}$。

(2) 在区间 $[0,\xi]$ 与 $[\xi,1]$ 上，对 $f(x)$ 分别用拉格朗日中值定理解，存在 $\eta \in (0,\xi)$ 与 $\zeta \in (\xi,1)$，使

再以 $f(\xi)=\frac{a}{a+b} \neq 0, f(0)=0, f(1)=1$ 代入，便得

柯西中值定理

设 $f(x), g(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开区间 $(a, b)$ 内可导，且 $g^{\prime}(x) \neq 0, x \in (a, b)$，则至少存在一点 $\xi \in (a, b)$ 使

柯西中值定理是拉格朗日中值定理在两个函数情形的推广.

例 8 设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续，在开区间 $(0,1)$ 内可导，证明至少存在一个 $\xi \in (0,1)$，使得 $f^{\prime}(\xi)=2 \xi[f(1)-f(0)]$.

【证】 设 $g(x)=x^{2}, f(x), g(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续，在开区间 $(0,1)$ 内可导，由柯西中值定理，存在 $\xi \in (0,1)$，使得

$\frac{f(1)-f(0)}{1^{2}-0^{2}}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{2 \xi},$

即 $f^{\prime}(\xi)=2 \xi[f(1)-f(0)]$.

【评注】 可构造辅助函数 $F(x)=f(x)-x^{2}[f(1)-f(0)]$，在 $[0,1]$ 上用罗尔定理.

泰勒定理

设 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 有 $n$ 阶连续的导数，在开区间 $(a,b)$ 内有直到 $n+1$ 阶导数，$x_{0} \in[a,b], x \in[a,b]$ 是任意两点，则至少存在一点 $\xi$ 介于 $x_{0}$ 与 $x$ 之间，使

其中 $R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1) !}\left(x-x_{0}\right)^{n+1}$ 称为拉格朗日余项，整个公式称为具有拉格朗日余项的 $n$阶泰勒公式.

如果将定理的条件减弱为：设 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 具有 $n$ 阶导数（这就意味着 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 的某邻域应具有 $n-1$ 阶导数，并且 $f^{(n-1)}(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处连续），$x$ 为点 $x_{0}$ 的充分小的邻域内的任意一点，则有

其中 $R_{n}(x)=o\left(\left(x-x_{0}\right)^{n}\right)\left(\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{o\left(x-x_{0}\right)^{n}}{\left(x-x_{0}\right)^{n}}=0\right)$ 称为佩亚诺余项.

这就是佩亚诺余项泰勒公式.

【注】

(1) 如果泰勒公式中的 $x_{0}=0$，则称该公式为麦克劳林公式.

(2) 具有拉格朗日余项的 0 阶泰勒公式就是拉格朗日中值公式；具有佩亚诺余项的 1 阶泰勒公式就是函数的微分与增量之间的关系式.

(3) 为加深理解，今将两个泰勒公式的条件、结论和用途比较如下：

常用泰勒公式展开

(1) $e^x=1+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n).$

(2) $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+o(x^{2n-1}).$

(3) $\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\cdots+(-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n}).$

(4) $\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}+o(x^n).$

(5) $(1+x)^m=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!} x^2 +\cdots+\frac{m(m-1) \cdots (m-n+1)}{n!} x^n+o(x^n).$

在求 $x \to x_0$ 的极限时，若条件允许，有时用佩亚诺余项泰勒公式求极限很方便。

例 9 求函数 $f(x)=\frac{x}{2+x-x^2}$ 具有佩亚诺余项的 $n$ 阶麦克劳林公式.

【解】

通分，比较分子的系数可得

故

由公式 (5)（$m=-1$），得

【评注】 (1) $f(x)$ 的分子、分母均为多项式，这样的函数称为分式有理函数，分式有理函数一旦分母的因式分解知道后，总可以写成诸如

之和, 其中 $p^{2}-4q<0$. 这些系数 $A$, $B$ 可以通过通分、比较分子多项式的系数求得, 像 (1). 这个分解法还将在求分式有理函数不定积分时用到。

(2) 本题所用的求泰勒公式的方法称为间接法，就是用已知的公式 (1)～(5) 求未知函数的泰勒多项式。这个方法也将在级数一章用到。

例 10

求 $f(x) = e^x$ 在 $x_0 = -1$ 处具有拉格朗日余项的 $n$ 阶泰勒公式。

【解】仍然用间接法。

其中 $\xi$ 介于 $x$ 与 $-1$ 之间，$x \in (-\infty, +\infty)$。

例 11

求极限：

【解】 $2^x - 1 = e^{x \ln 2} - 1 \sim x \ln 2, x \to 0$；$\tan x \sim x, x \to 0$，

故

将 $-\frac{x^2}{2} + o(x^2) = u$ 作为整体，考虑 $\sqrt[3]{1 + u}$，由公式 (5)，得

【评注】

(1) 洛必达法则也可以求本题，只是 $\sqrt[3]{\cos x}$ 的二阶导数比较复杂，不易计算。

(2) 泰勒公式经常可用于各种复杂极限的计算，如 $\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, \infty \pm \infty$ 等等。有时比洛必达法则更简单。

(3) 等价无穷小（大）替换是求极限的最佳方法，能用时一定要用（像本题中的分母 $(2^x - 1) \tan x$）。但等价无穷小（大）替换有局限性，只能用于乘除法。对于极限 $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$，分子用 $\sin x \sim x, x \to 0$ 替换，极限为 $0$，而我们知道极限为 $\frac{1}{6}$，因为分子是减法，不能用等价无穷小替换。但此时，用泰勒公式

代入是正确的。

(4) 用泰勒公式代替等价无穷小替换，展到几次方？对此，具体问题要具体考虑。若将 (2)

代入

你会发现极限为 0。此时更高阶的泰勒公式：

是正确的。希望大家能通过这个简单例子体会一下。

(5) 泰勒公式也可用于求无穷小的阶，例如当 $x \to 0$ 时，$x - \frac{1}{3!}x^3 - \sin x$ 是几阶无穷小？
它的等价无穷小是什么？

例 12

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上具有连续的三阶导数，且

证明：在 $(0,1)$ 内存在 $\xi_1$ 和 $\xi_2$，使得

【证】
由泰勒公式有：

两式相减可得：

即：

取

则有