四、闭区间上连续函数的性质

定理 (最值定理)

设 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续, 则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上必有最大值与最小值.

定理 (有界性定理)

设 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续, 则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上必有界.

定理 (介值定理)

设 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续, 且 $f(a) \neq f(b)$, 则对于任意介于 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间的数 $C$, 至少存在一点 $\xi \in (a, b)$, 使 $f(\xi) = C$.

介值定理还可等价表述为如下形式: 设 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续, 且 $m, M$ 是 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的最小值和最大值, 则对介于 $m, M$ 之间的任一数 $C$, 则在开区间 $(a, b)$ 内至少有一点 $\xi$, 使 $f(\xi) = C (m < C < M)$.

【注】 若 $C$ 满足 $m \leqslant C \leqslant M$, 则结论中的 $\xi \in [a, b]$.

推论 若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, 则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可取到介于最小值 $m$ 与最大值 $M$ 之间的任何值.

定理 (零点定理)

设 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续, 且 $f(a) \cdot f(b) < 0$, 则至少存在一点 $\xi \in (a, b)$, 使 $f(\xi) = 0$.

【注】 零点定理的一个重要应用就是证明方程的根的存在性.

例 27 证明方程 $e^x - 2 = x$ 在 $(0, 2)$ 内至少有一个根.

【证】 令 $f(x) = e^x - 2 - x$, 显然 $f(x)$ 在 $[0, 2]$ 内连续,

由零点定理知, 在 $(0, 2)$ 内至少有一点 $\xi$, 使得 $f(\xi) = 0$, 即 $e^\xi - 2 = \xi$.
则 $\xi$ 是方程 $e^x - 2 = x$ 的根. 所以 $e^x - 2 = x$ 在 $(0, 2)$ 内至少有一个根.

例 28 证明方程 $x = a \sin x + b$ 至少有一个不超过 $a + b$ 的正根, 其中 $a > 0, b > 0$.

【证】 令 $f(x) = x - a \sin x - b$, 则 $f(x)$ 在 $[0, a + b]$ 上连续,
且 $f(0) = -b < 0$, $f(a + b) = a - a \sin(a + b) = a[1 - \sin(a + b)] \geqslant 0$.

• (ⅰ) 若 $f(a + b) = 0$, 即 $\sin(a + b) = 1$, 则 $x = a + b$ 即为方程的根, 结论成立.
• (ⅱ) 若 $f(a + b) > 0$, 则由零点定理知, 在 $(0, a + b)$ 内至少存在一点 $\xi$, 使得 $f(\xi) = 0$, 即 $x = \xi$ 为方程的根, 结论成立.

综合上述两种情形, 可得方程 $x = a \sin x + b$ 至少有一个不超过 $a + b$ 的正根.

【评注】 本题中对 $f(a + b) \geqslant 0$ 要分 $f(a + b) = 0$ 和 $f(a + b) > 0$ 两种情形分别考虑, 不能忽视 $f(a + b) = 0$ 的情形.

例 29 设函数 $f(x)$ 在 $[0, 2a]$ 上连续, 且 $f(0) = f(2a)$.
证明: 在 $[0, a]$ 上至少存在一点 $\xi$, 使 $f(\xi) = f(\xi + a)$.

令 $F(x) = f(x) - f(x+a)$，则 $F(x)$ 在 $[0, a]$ 上连续，
且 $F(0) = f(0) - f(a)$, $F(a) = f(a) - f(2a) = f(a) - f(0)$，
于是有 $F(0) \cdot F(a) = -[f(0) - f(a)]^2 \leqslant 0$。

（ⅰ）若 $F(0) \cdot F(a) = 0$，即 $f(0) = f(a)$，则取 $\xi = 0$ 或 $\xi = a$ 都会满足 $f(\xi) = f(\xi + a)$，结论成立。

（ⅱ）若 $F(0) \cdot F(a) < 0$，则由零点定理知，在 $(0, a)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $F(\xi) = 0$，
即 $f(\xi) = f(\xi + a)$，结论成立。

综合上述两种情形，存在 $\xi \in [0, a]$，使 $f(\xi) = f(\xi + a)$。

例 30 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，$x_i \in [a, b], k_i > 0 (i = 1, 2, 3)$，且 $k_1 + k_2 + k_3 = 1$。
试证：在 $[a, b]$ 内至少存在一点 $\xi$，使得

【证】 因 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有最大值 $M$，最小值 $m$。
则 $m \leqslant f(x_1) \leqslant M$, $m \leqslant f(x_2) \leqslant M$, $m \leqslant f(x_3) \leqslant M$，
于是 $(k_1 + k_2 + k_3)m \leqslant k_1 f(x_1) + k_2 f(x_2) + k_3 f(x_3) \leqslant (k_1 + k_2 + k_3)M$，
由 $k_1 + k_2 + k_3 = 1$ 得

由介值定理得：在 $[a, b]$ 内至少存在一点 $\xi$，使得

例 31 已知函数 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上连续，且 $f(0) = 0$, $f(1) = 1$，证明：存在 $\xi \in (0, 1)$
使得 $f(\xi) = 1 - \xi$。

【证】
方法一 用介值定理
令 $F(x) = f(x) + x$，则 $F(x)$ 在 $[0, 1]$ 上连续，且 $F(0) = f(0) = 0$，
$F(1) = f(1) + 1 = 2$，由于 $F(0) < 1 < F(1)$，则由介值定理知，
存在 $\xi \in (0, 1)$，使得 $F(\xi) = 1$，即 $f(\xi) = 1 - \xi$。

方法二 用零点定理
令 $G(x) = f(x) + x - 1$，则 $G(x)$ 在 $[0, 1]$ 上连续，
且 $G(0) = f(0) - 1 = -1 < 0$, $G(1) = f(1) = 1 > 0$，
由零点定理知，存在 $\xi \in (0, 1)$，使得 $G(\xi) = 0$，即 $f(\xi) = 1 - \xi$.

例 32 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，$a < c < d < b$。试证对任意的正数 $p, q$，至少存在一个 $\xi \in [c, d]$，使 $p f(c) + q f(d) = (p + q) f(\xi)$。

【证】 由题设可知，$f(x)$ 在 $[c, d]$ 上连续，则该区间上必有最小值 $m$ 和最大值 $M$。
则

由连续函数介值定理知，至少存在一个 $\xi \in [c, d]$，使

例 33 (2008, 数二) 证明积分中值定理: 若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续, 则至少存在一点 $\xi \in [a, b]$, 使得 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x = f(\xi)(b-a)$.

【证】

因 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, 则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有最大值 $M$, 最小值 $m$.

对任意 $x \in [a, b]$, 有 $m \leqslant f(x) \leqslant M$, 从而有

于是有

由介值定理知, 存在 $\xi \in [a, b]$, 使得 $f(\xi) = \frac{\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x}{b-a}$,

即 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x = f(\xi)(b-a)$.