1. 高阶导数的定义

若 $y = f(x)$ 的导数 $y' = f'(x)$ 仍是 $x$ 的可导函数，
则称 $y' = f'(x)$ 的导数为函数 $y = f(x)$ 的二阶导数，记作：$y''$、$f''(x)$、$\dfrac{d^2 y}{dx^2}$ 或 $\dfrac{d^2 f}{dx^2}$。

二阶导数的导数，叫做三阶导数，记作：$y'''$、$f'''(x)$、$\dfrac{d^3 y}{dx^3}$ 或 $\dfrac{d^3 f}{dx^3}$。

三阶导数的导数，叫做四阶导数，记作：$y^{(4)}$、$f^{(4)}(x)$、$\dfrac{d^4 y}{dx^4}$ 或 $\dfrac{d^4 f}{dx^4}$。

……

$(n-1)$ 阶导数的导数，叫做 $n$ 阶导数，记作：$y^{(n)}$、$f^{(n)}(x)$、$\dfrac{d^n y}{dx^n}$ 或 $\dfrac{d^n f}{dx^n}$。

【注】
函数 $y = f(x)$ $n$ 阶可导，是指 $y = f(x)$ 有一阶、二阶、⋯⋯、直到 $n$ 阶的导数。

2. 高阶导数的计算

(1) 直接法：
先求出 $y'$、$y''$ 等，找出导数规律，写出 $y^{(n)}$ 的结果。

(2) 间接法：
利用已知高阶导数公式、运算法则，通过将函数恒等变形、变量替换等求出高阶导数结果。

3. 高阶导数的四则运算法则

设 $u(x), v(x)$ 都 $n$ 阶可导，则

——莱布尼茨公式

其中 $u^{(0)}(x) = u(x), v^{(0)}(x) = v(x)$.

4. 常用的高阶导数公式

例 31 设 $y = \ln \sqrt{\frac{1-x}{1+x^2}}$，则 $\left. \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} \right|_{x=0} =$ ______.

【解】

则 $\left. \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} \right|_{x=0} = \frac{1}{2} (-1-2) = -\frac{3}{2}$.

例 32 （2017，数一）已知函数 $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$，则 $f^{(3)}(0) =$ ______.

【解】 方法一

则 $f^{(3)}(0) = 0$.

方法二 由 $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ 是偶函数知，$f'(x)$ 是奇函数，$f''(x)$ 是偶函数，$f^{(3)}(x)$ 是奇函数，则 $f^{(3)}(-x) = -f^{(3)}(x)$，所以，$f^{(3)}(0) = 0$.

【评注】 还可利用 $f(x)$ 的麦克劳林展开式求 $f^{(3)}(0)$.

例 33 (2006, 数三) $f(x)$ 在 $x=2$ 某邻域内可导, 且 $f'(x) = e^{f(x)}, f(2) = 1$, 则 $f'''(2) =$ _______.

【解】 由 $f'(x) = e^{f(x)}$, 则

则 $f'''(2) = 2e^{3f(2)} = 2e^3$.

例 34 已知 $y = x \ln x$, 则 $y^{(10)} =$

(A) $-\frac{1}{x^9}$. $\qquad$

(B) $\frac{1}{x^9}$. $\qquad$

(C) $\frac{8!}{x^9}$. $\qquad$

(D) $-\frac{8!}{x^9}$.

【解】 $y' = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1, y'' = \frac{1}{x}, y''' = \frac{-1}{x^2}, y^{(4)} = \frac{(-1)(-2)}{x^3}, \ldots$, 则 $y^{(10)} = \frac{(-1)(-2)\cdots(-8)}{x^9} = \frac{8!}{x^9}$. 故应选 (C).

【评注】 可利用莱布尼茨公式求 $y^{(10)}$.

例 35 (2010, 数二) 函数 $y = \ln(1-2x)$ 在 $x=0$ 处的 $n$ 阶导数 $y^{(n)}(0) =$ _______.

【解】 $y' = \frac{-2}{1-2x} = -2(1-2x)^{-1}$,

则 $y^{(n)} = (-1)(-2)\cdots(-(n-1))(-2)^n(1-2x)^{-n} = -(n-1)!2^n(1-2x)^{-n}$, 于是有 $y^{(n)}(0) = -(n-1)!2^n$.

【评注】 记住结论 $[ \ln(ax+b) ]^{(n)} = (-1)^{n-1} \cdot \frac{(n-1)!a^n}{(ax+b)^n}$, 可直接导出结果.

例 36 (2015, 数二) 函数 $f(x) = x^22^x$ 在 $x=0$ 处的 $n$ 阶导数 $f^{(n)}(0) =$ _______.

【解】 由莱布尼茨公式得 (注意到 $(x^2)^{(i)} = 0 (i=3, 4, \cdots)$, $(2^x)^{(k)} = 2^x(\ln 2)^k$)

则 $f^{(n)}(0) = n(n-1)(\ln 2)^{n-2}$.

例 37 设 $y = x^2e^x$, 求 $y^{(n)}$.

【解】 由莱布尼茨公式及 $(x^2)^{(k)} = 0, k=3, 4, \cdots, n$ 得

例 38 求下列函数的 $n$ 阶导数.

(1) $y = \frac{1}{x^2 + x - 2}$.

(2) $y = \sin^2 x$.

【解】

(1) $y = \frac{1}{x^2 + x - 2} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 2} \right)$, 由于 $\left( \frac{1}{x + a} \right)^{(n)} = (-1)^n \frac{n!}{(x + a)^{n + 1}}$,

则 $y^{(n)} = \frac{1}{3} \left[ \left( \frac{1}{x - 1} \right)^{(n)} - \left( \frac{1}{x + 2} \right)^{(n)} \right]$

$\quad = \frac{1}{3} \left[ (-1)^n \frac{n!}{(x - 1)^{n + 1}} - (-1)^n \frac{n!}{(x + 2)^{n + 1}} \right]$

$\quad = \frac{(-1)^n n!}{3} \left[ \frac{1}{(x - 1)^{n + 1}} - \frac{1}{(x + 2)^{n + 1}} \right]$.

(2) $y = \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2x$, 由于 $(\cos kx)^{(n)} = k^n \cos \left( kx + \frac{n \pi}{2} \right)$,

则 $y^{(n)} = \left( \frac{1}{2} \right)^{(n)} - \frac{1}{2} (\cos 2x)^{(n)} = -\frac{1}{2} \cdot 2^n \cos \left( 2x + \frac{n \pi}{2} \right) = -2^{n - 1} \cos \left( 2x + \frac{n \pi}{2} \right)$.

5. 几类函数的二阶导数求法

(1) 抽象复合函数 $y = f[\varphi(x)]$ 的二阶导数 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}$ 的求法

先求一阶导数 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f'[\varphi(x)] \varphi'(x)$,

再求二阶导数 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} = \left[ f'(\varphi(x)) \right]' \varphi'(x) + f'[\varphi(x)] \varphi''(x)$

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad = f''[\varphi(x)] [\varphi'(x)]^2 + f'[\varphi(x)] \varphi''(x)$.

【注】$\left[ f'(\varphi(x)) \right]'$ 仍是复合函数求导数，$f'(\varphi(x))$ 是 $f'(u)$ 和 $u = \varphi(x)$ 的复合函数，因而应按照复合函数求导法则求 $f'(\varphi(x))$ 的导数，即 $\left[ f'(\varphi(x)) \right]' = f''[\varphi(x)] \cdot \varphi'(x)$，如果漏掉 $\varphi'(x)$ 就会出错。注意 $\left[ f'(\varphi(x)) \right]' \neq f''(\varphi(x))$.

例 39 设 $f(x)$ 二阶可导，求下列函数的二阶导数 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}$.

(1) $y = f(\mathrm{e}^{-x})$.

(2) $y = \ln f(x)$.

【解】

(1) $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f'(\mathrm{e}^{-x}) \cdot (\mathrm{e}^{-x})' = -\mathrm{e}^{-x} f'(\mathrm{e}^{-x})$,

$\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} = -\left[ (\mathrm{e}^{-x})' f'(\mathrm{e}^{-x}) + \mathrm{e}^{-x} \cdot (f'(\mathrm{e}^{-x}))' \right]$

$\quad\quad\quad\quad\quad = -\left[ -\mathrm{e}^{-x} f'(\mathrm{e}^{-x}) + \mathrm{e}^{-x} f''(\mathrm{e}^{-x}) \cdot (\mathrm{e}^{-x})' \right]$

$\quad\quad\quad\quad\quad = \mathrm{e}^{-x} f'(\mathrm{e}^{-x}) + \mathrm{e}^{-2x} f''(\mathrm{e}^{-x})$.

(2) $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{f(x)} f'(x) = \frac{f'(x)}{f(x)}$,

$\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} = \frac{f''(x) f(x) - f'(x) \cdot f'(x)}{f^2(x)} = \frac{f''(x) f(x) - [f'(x)]^2}{f^2(x)}$.

例 40 （1993，数三）设 $y = \sin[f(x^2)]$，其中 $f$ 具有二阶导数，求 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}$.

【解】

(2) 由方程 $F(x, y) = 0$ 所确定的隐函数 $y = y(x)$ 的二阶导数 $\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ 的求法

先利用隐函数求导法求出一阶导数 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$，然后再利用四则运算或复合函数求导法则对 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ 关于 $x$ 求导得到二阶导数 $\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$.

【注】 对 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ 关于 $x$ 求导时，要牢记 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ 的表示式中 $y$ 仍是 $x$ 的函数.

例 41 由方程 $e^{y} + x y = e$ 确定 $y$ 是 $x$ 的函数，求 $\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$.

【解】 方程 $e^{y} + x y = e$ 两边对 $x$ 求导，得

则

例 42 （2009，数二）设 $y = y(x)$ 是由方程 $x y + e^{y} = x + 1$ 确定的隐函数，则

【解】 将 $x = 0$ 代入方程 $x y + e^{y} = x + 1$，解得 $y = 0$。

对方程 $x y + e^{y} = x + 1$ 两边关于 $x$ 求导得

将 $x = 0, y = 0$ 代入上式得

对上式两边再关于 $x$ 求导得

将 $x = 0, y = 0, \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} = 1$ 代入上式得

故应填 $-3$.

【评注】 因求一点的二阶导数值，所以可以不用求出 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ 的表示式，而直接在求导得出的关系等式中代入 $x = 0, y = 0$ 即可求出在 $x = 0$ 点的一阶、二阶导数值 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0}$，这就是利用隐函数求导的简便之处。

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} \bigg|_{x=0}$, 这样可简化计算.

例 43 (2012, 数二)

设 $y = y(x)$ 是由方程 $x^2 - y + 1 = e^y$ 所确定的隐函数, 则 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} \bigg|_{x=0} =$ ______.

【解】

将 $x = 0$ 代入方程 $x^2 - y + 1 = e^y$ 中得 $y = 0$,

方程 $x^2 - y + 1 = e^y$ 两边对 $x$ 求导得

将 $x = 0, y = 0$ 代入上式得 $\frac{dy}{dx} \bigg|_{x=0} = 0$.

上式两边再对 $x$ 求导得

将 $x = 0, y = 0, \frac{dy}{dx} = 0$ 代入上式得 $\frac{d^2 y}{dx^2} \bigg|_{x=0} = 1$.

(3) 由参数方程 $\begin{cases} x = \varphi(t), \\ y = \psi(t) \end{cases}$ 所确定的函数 $y = y(x)$ 的二阶导数 $\frac{d^2 y}{dx^2}$ 的求法（数学三不要求）

先求一阶导数 $\frac{dy}{dx} = \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}$,

再求二阶导数 $\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{\frac{\varphi'(t)}{\varphi'(t)}}{\varphi'(t)} = \frac{\psi''(t) \varphi'(t) - \psi'(t) \varphi''(t)}{[\varphi'(t)]^3}$.

例 44 (2013, 数一)

设 $\begin{cases} x = \sin t, \\ y = t \sin t + \cos t \end{cases}$ ($t$ 为参数), 则 $\frac{d^2 y}{dx^2} \bigg|_{t=\frac{\pi}{4}} =$ ______.

【解】

由参数方程求导公式得

则 $\frac{d^2 y}{dx^2} \bigg|_{t=\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{\cos \frac{\pi}{4}} = \sqrt{2}$. 故应填 $\sqrt{2}$.

例 45

设函数 $y = y(x)$ 由参数方程 $\begin{cases} x = t + \ln(t-1), \\ y = t^3 + t^2 + 1 \end{cases}$ 所确定, 求 $\frac{d^2 y}{dx^2}$.

【解】