三、间断点及其分类

1. 间断点的定义

定义 若 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某去心邻域内有定义，但在 $x_0$ 点不连续，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 点间断，并称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的间断点。

【注】 $x_0$ 为 $f(x)$ 的间断点 $\Leftrightarrow f(x)$ 在 $x_0$ 点不连续

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} 1^\circ & \quad f(x_0) \text{有定义} \\ 2^\circ & \quad \lim_{x \to x_0} f(x) \text{存在} \\ 3^\circ & \quad \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \end{aligned} \right.$

三个条件中至少有一个不成立。

2. 间断点的分类

左、右极限都存在的间断点称为第一类间断点，其中左、右极限都存在且相等的间断点称为可去间断点；左、右极限都存在但不相等的间断点称为跳跃间断点。

左、右极限至少有一个不存在的间断点称为第二类间断点。其中若 $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \infty$ 或 $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \infty$，则称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的无穷间断点。若 $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 振荡，则称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的振荡间断点。

$\text{间断点分类} \begin{cases} \text{第一类间断点: } \lim_{x \to x_0^-} f(x), \lim_{x \to x_0^+} f(x) \text{都存在.} \\ \text{第二类间断点: } \lim_{x \to x_0^-} f(x), \lim_{x \to x_0^+} f(x) \text{至少有一个不存在.} \end{cases}$

$\text{第一类间断点} \begin{cases} \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) \begin{cases} \neq f(x_0) \\ f(x_0) \text{无定义} \end{cases} — \text{可去型间断点.} \\ \lim_{x \to x_0^-} f(x) \neq \lim_{x \to x_0^+} f(x) — \text{跳跃型间断点.} \end{cases}$

$\text{第二类间断点} \begin{cases} \text{无穷型间断点: } \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \infty \text{或} \lim_{x \to x_0^+} f(x) = \infty. \\ \text{振荡型间断点: } \lim_{x \to x_0} f(x) \text{振荡.} \end{cases}$

(1) 初等函数的间断点只可能是定义区间之外的点.

(2) 分段函数的间断点除了定义域之外的点,还可能是定义域之内的分界点.

例 18 求下列函数的间断点，并判断其类型.

(1) $f(x) = \frac{1 - \cos x}{x^3 + x^2} ;$ (2) $f(x) = \begin{cases} \frac{|x^2 - 1|}{x - 1}, & x \neq 1, \\ 2, & x = 1. \end{cases}$

【解】 (1) 因 $f(x) = \frac{1 - \cos x}{x^3 + x^2}$ 是初等函数，其间断点为 $x^3 + x^2 = 0$ 的点，即 $x = 0, x = -1$ 为其间断点.

$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^3 + x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}x^2}{x^3 + x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}}{x + 1} = \frac{1}{2},$

则 $x = 0$ 为可去间断点（第一类间断点）.

$\lim_{x \to -1} f(x) = \lim_{x \to -1} \frac{1 - \cos x}{x^3 + x^2} = \infty,$ 则 $x = -1$ 为无穷间断点（第二类间断点）.

(2) 因 $f(x)$ 是分段函数，定义域为 $(-\infty, +\infty)$，当 $x \neq 1$ 时 $f(x)$ 连续，故只需考虑分界点 $x = 1$ 是否为间断点即可.

$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \frac{|x^2 - 1|}{x - 1} = \lim_{x \to 1^-} \frac{-(x^2 - 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^-} [-(x + 1)] = -2,$

$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{|x^2 - 1|}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} (x + 1) = 2,$

可见 $\lim_{x \to 1^-} f(x) \neq \lim_{x \to 1^+} f(x),$

即 $x = 1$ 为间断点，且为跳跃间断点（第一类间断点）.

例 19（2005，数二）设函数 $f(x) = \frac{1}{\mathrm{e}^{\frac{x}{x - 1}} - 1}$，则

(A) $x = 0, x = 1$ 都是 $f(x)$ 的第一类间断点.

(B) $x = 0, x = 1$ 都是 $f(x)$ 的第二类间断点.

(C) $x = 0$ 是 $f(x)$ 的第一类间断点，$x = 1$ 是 $f(x)$ 的第二类间断点.

(D) $x = 0$ 是 $f(x)$ 的第二类间断点，$x = 1$ 是 $f(x)$ 的第一类间断点.

【解】 因 $f(x)$ 在 $x = 0, x = 1$ 点无定义，$x = 0, x = 1$ 是 $f(x)$ 的间断点.

$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{1}{e^{\frac{x}{x-1}} - 1} = \infty$, 则 $x=0$ 是 $f(x)$ 的第二类间断点.

又因

则 $\lim_{x \to 1^-} f(x) \neq \lim_{x \to 1^+} f(x)$, 所以 $x=1$ 是 $f(x)$ 的第一类间断点.

故应选(D).

例 20 (2008, 数二) 设函数 $f(x) = \frac{\ln |x|}{|x-1|} \sin x$, 则 $f(x)$ 有

(A) 1 个可去间断点, 1 个跳跃间断点.

(B) 1 个可去间断点, 1 个无穷间断点.

(C) 2 个跳跃间断点.

(D) 2 个无穷间断点.

【解】 当 $x=0, x=1$ 时 $f(x)$ 无定义, 则 $f(x)$ 的间断点为 $x=0, x=1$.

则 $x=0$ 为 $f(x)$ 的可去间断点.

因 $\lim_{x \to 1^-} f(x) \neq \lim_{x \to 1^+} f(x)$, 则 $x=1$ 是 $f(x)$ 的跳跃间断点.

故应选(A).

例 21 (2013, 数三) 函数 $f(x) = \frac{|x|^{x} - 1}{x(x+1)\ln|x|}$ 的可去间断点的个数为

(A) 0.

(B) 1.

(C) 2.

(D) 3.

【解】 $f(x)$ 的间断点为 $x=-1, x=0, x=1$.

$\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x \ln |x|}-1}{x(x+1) \ln |x|} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \ln |x|}{x(x+1) \ln |x|} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x+1} = 1$,

则 $x = 0$ 为可去间断点.

$\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\mathrm{e}^{x \ln |x|}-1}{x(x+1) \ln |x|} = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x \ln |x|}{x(x+1) \ln |x|} = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{1}{x+1} = \frac{1}{2}$,

则 $x = 1$ 为可去间断点.

所以, $f(x)$ 有 2 个可去间断点, 分别为 $x = 0, x = 1$. 故应选 (C).

例 22 (2015, 数二) 函数 $f(x) = \lim _{t \rightarrow 0}\left(1+\frac{\sin t}{x}\right)^{\frac{x^2}{t}}$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 内

(A) 连续. (B) 有可去间断点. (C) 有跳跃间断点. (D) 有无穷间断点.

【解】 $f(x) = \lim _{t \rightarrow 0}\left(1+\frac{\sin t}{x}\right)^{\frac{x^2}{t}} = \lim _{t \rightarrow 0}\left[\left(1+\frac{\sin t}{x}\right)^{\frac{x}{\sin t}}\right]^{\sin t \cdot x} = \mathrm{e}^x (x \neq 0)$,

则当 $x \neq 0$ 时, $f(x) = \mathrm{e}^x$. 当 $x = 0$ 时, $f(x)$ 无定义.

所以 $x = 0$ 是 $f(x)$ 的间断点.

$\lim _{x \rightarrow 0} f(x) = \lim _{x \rightarrow 0} \mathrm{e}^x = 1$, 故 $x = 0$ 为 $f(x)$ 的可去间断点.

故应选 (B).

例 23 (2004, 数二) 设 $f(x) = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n-1)x}{nx^2 + 1}$, 则 $f(x)$ 的间断点为 ___.

【解】 当 $x \neq 0$ 时, $f(x) = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n-1)x}{nx^2 + 1} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(1-\frac{1}{n})x}{x^2 + \frac{1}{n}} = \frac{x}{x^2} = \frac{1}{x}$,

当 $x = 0$ 时, $f(0) = \lim _{n \rightarrow \infty} 0 = 0$.

则 $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x = 0. \end{cases}$

$\lim _{x \rightarrow 0} f(x) = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} = \infty$, 所以 $x = 0$ 为 $f(x)$ 的间断点. 故应填 $x = 0$.

例 24 设函数 $f(x) = \begin{cases} \frac{\ln (1+ax^3)}{x-\arcsin x}, & x < 0, \\ 6, & x = 0, \\ \frac{\mathrm{e}^{ax}+x^2-ax-1}{x\sin \frac{x}{4}}, & x > 0. \end{cases}$

问 $a$ 为何值时, $x = 0$ 是 $f(x)$ 的可去间断点?

【解】 要使得 $x = 0$ 为 $f(x)$ 的可去间断点, 则 $\lim _{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim _{x \rightarrow 0^+} f(x) \neq f(0)$.

$\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 0^-} f(x) & = \lim _{x \rightarrow 0^-} \frac{\ln (1+ax^3)}{x-\arcsin x} \\ & = \lim _{x \rightarrow 0^-} \frac{ax^3}{x-\arcsin x} \\ & = \lim _{x \rightarrow 0^-} \frac{3ax^2}{1-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}} \\ & = \lim _{x \rightarrow 0^-} \sqrt{1-x^2} \cdot \frac{3ax^2}{\sqrt{1-x^2}-1} \\ & = \lim _{x \rightarrow 0^-} \sqrt{1-x^2} \cdot \lim _{x \rightarrow 0^-} \frac{3ax^2}{\sqrt{1-x^2}-1} \end{aligned}$

= \lim_{x \to 0^-} \frac{3ax^2}{\frac{1}{2}(-x^2)} = -6a,

$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{e^{ax} + x^2 - ax - 1}{x \sin \frac{x}{4}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{e^{ax} + x^2 - ax - 1}{\frac{1}{4}x^2} = \lim_{x \to 0^+} \frac{ae^{ax} + 2x - a}{\frac{1}{2}x}$

$= \lim_{x \to 0^+} \frac{a^2e^{ax} + 2}{\frac{1}{2}} = 2a^2 + 4,$

因 $x = 0$ 是可去间断点，则 $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) \neq f(0)$, 即 $-6a = 2a^2 + 4 \neq 6$, 解得 $a = -2$.

则当 $a = -2$ 时, $x = 0$ 是 $f(x)$ 的可去间断点.

例 25 设 $f(x)$ 和 $\varphi(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 内有定义, $f(x)$ 为连续函数, 且 $f(x) \neq 0$, $\varphi(x)$ 有间断点, 则

(A) $\varphi[f(x)]$ 必有间断点.

(B) $[\varphi(x)]^2$ 必有间断点.

(C) $f[\varphi(x)]$ 必有间断点.

(D) $\frac{\varphi(x)}{f(x)}$ 必有间断点.

【解】 可通过举反例说明 (A) (B) (C) 选项都不对.

若取 $\varphi(x) = \begin{cases} 1, & x \geq 0, \\ -1, & x < 0, \end{cases}$ $f(x) = x^2 + 1$, 则 $\varphi(x)$ 有间断点 $x = 0$, $f(x)$ 连续, 且 $f(x) \neq 0$, 而 $\varphi[f(x)] = \varphi(x^2 + 1) = 1$ 连续, 没有间断点, 从而 (A) 不正确.

又 $[\varphi(x)]^2 = 1$ 连续, 没有间断点, 则 (B) 不对.

而 $f[\varphi(x)] = \varphi^2(x) + 1 = 2$ 连续, 没有间断点, 从而 (C) 不对.

而选项 (D) 正确. 反证法可证: 若 $\frac{\varphi(x)}{f(x)}$ 没有间断点, 则 $\frac{\varphi(x)}{f(x)}$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 内连续, 又 $f(x)$ 也连续, 则 $\varphi(x) = \frac{\varphi(x)}{f(x)} \cdot f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 内连续, 与 $\varphi(x)$ 有间断点矛盾.

所以 $\frac{\varphi(x)}{f(x)}$ 必有间断点. 故应选 (D).

例 26 设函数 $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + x}{1 + x^{2n}}$, 试求函数 $f(x)$ 的间断点, 并判定其类型.

【解】 先求极限: 当 $|x| < 1$ 时, $\lim_{n \to \infty} \frac{1 + x}{1 + x^{2n}} = 1 + x$; 当 $|x| > 1$ 时, $\lim_{n \to \infty} \frac{1 + x}{1 + x^{2n}} = 0$; 当 $x = 1$ 时, $\lim_{n \to \infty} \frac{1 + x}{1 + x^{2n}} = 1$; 当 $x = -1$ 时, $\lim_{n \to \infty} \frac{1 + x}{1 + x^{2n}} = 0$.

则

是分段函数, 分界点为 $x = -1, x = 1$.

由于 $\lim_{x \to -1^-} f(x) = 0$, $\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} (1 + x) = 0$, $f(-1) = 0$,

• 有 $\lim_{x \to -1^{-}} f(x)=\lim_{x \to -1^{+}} f(x)=f(-1)$, 则 $x = -1$ 为 $f(x)$ 的连续点.
• 又 $\lim_{x \to 1^{-}} f(x)=\lim_{x \to 1^{-}} (1+x)=2$, $\lim_{x \to 1^{+}} f(x)=0$,
• 由于 $\lim_{x \to 1^{-}} f(x) \neq \lim_{x \to 1^{+}} f(x)$, 所以 $x = 1$ 为 $f(x)$ 的跳跃间断点（第一类间断点）.