一、导数的计算

1. 基本初等函数的导数公式

(1) $(C)' = 0$；

(2) $(x^{\alpha})' = \alpha x^{\alpha - 1}$；

(3) $(a^x)' = a^x \ln a$；

(4) $(\mathrm{e}^x)' = \mathrm{e}^x$；

(5) $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$；

(6) $(\ln |x|)' = \frac{1}{x}$；

(7) $(\sin x)' = \cos x$；

(8) $(\cos x)' = -\sin x$；

(9) $(\tan x)' = \sec^2 x$；

(10) $(\cot x)' = -\csc^2 x$；

(11) $(\sec x)' = \sec x \tan x$；

(12) $(\csc x)' = -\csc x \cot x$；

(13) $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$；

(14) $(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$；

(15) $(\arctan x)' = \frac{1}{1 + x^2}$；

(16) $(\operatorname{arccot} x)' = -\frac{1}{1 + x^2}$.

2. 四则运算求导法则

设 $u(x), v(x)$ 在 $x$ 处可导，则

(1) $[u(x) \pm v(x)]' = u'(x) \pm v'(x)$.

(2) $[u(x)v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$.

(3) $\left[\frac{u(x)}{v(x)}\right]' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v^2(x)} (v(x) \neq 0)$.

【注】 (1) 和差、乘法的求导公式可推广到有限项的情形：

$\begin{aligned} &+u_1(x)u_2(x) \cdots u_n'(x). \\ &\text{(2) } \left[Cu(x)\right]' = Cu'(x), \text{ 其中 } C \text{ 为常数.} \\ &\text{(3) } \left[u^n(x)\right]' = nu^{n-1}(x)u'(x). \end{aligned}$

例 1 求下列函数的导数

【解】

$\begin{aligned} &\text{(1) 化简得 } f(x) = x^{-\frac{3}{2}} - \mathrm{e}^x + \frac{3}{x}, \text{ 则 } f'(x) = -\frac{3}{2} x^{-\frac{5}{2}} - \mathrm{e}^x - \frac{3}{x^2}. \\ &\text{(2) } y' = \frac{(\sin x + \cos x)' (\sin x - \cos x) - (\sin x + \cos x) (\sin x - \cos x)'}{(\sin x - \cos x)^2} \\ &\quad \quad = \frac{-(\sin x - \cos x)^2 - (\sin x + \cos x)^2}{(\sin x - \cos x)^2} = -\frac{2}{(\sin x - \cos x)^2}. \\ &\text{(3) } y' = x' \tan x \ln x + x (\tan x)' \ln x + x \tan x (\ln x)' \\ &\quad \quad = \tan x \ln x + x \sec^2 x \ln x + \tan x. \end{aligned}$

例 2

设 $f(x) = (x-1)(x-2) \cdots (x-50)$，则 $f'(1) = \underline{\quad\quad\quad}$.

【解】

方法一 利用乘法求导法则，得

$f'(x) = (x-2) \cdots (x-50) + (x-1)(x-3) \cdots (x-50) + \cdots + (x-1)(x-2) \cdots (x-49)$

则 $f'(1) = (-1)(-2)\cdots(-49) = -49!$.

因求一点的导数，也可将 $f(x) = (x-1)[(x-2) \cdots (x-50)]$，则 $f'(x) = (x-2) \cdots (x-50) + (x-1)[(x-2) \cdots (x-50)]'$, 代入 $x = 1$，得 $f'(1) = -49!$.

方法二 利用导数定义，得

$\begin{aligned} f'(1) &= \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x-2) \cdots (x-50)}{x-1} \\ &= \lim_{x \to 1} (x-2) \cdots (x-50) = -49!. \end{aligned}$

例 3 （2006，数二）设函数 $g(x)$ 可微，$h(x) = \mathrm{e}^{1+g(x)}$, $h'(1) = 1$, $g'(1) = 2$，则 $g(1)$ 等于

(A) $\ln 3 - 1$.

(B) $-\ln 3 - 1$.

(C) $-\ln 2 - 1$.

(D) $\ln 2 - 1$.

【解】

$h'(x) = \left[\mathrm{e}^{1+g(x)}\right]' = \mathrm{e}^{1+g(x)} \cdot \left[1+g(x)\right]' = \mathrm{e}^{1+g(x)} \cdot g'(x)$, 则 $h'(1) = \mathrm{e}^{1+g(1)} \cdot g'(1)$，又 $h'(1) = 1$, $g'(1) = 2$.

于是有 $1 = \mathrm{e}^{1+g(1)} \cdot 2$, 即 $\mathrm{e}^{1+g(1)} = \frac{1}{2}$, 因而 $1 + g(1) = \ln \frac{1}{2} = -\ln 2$, 所以 $g(1) = -\ln 2 - 1$. 故应选 (C).

例 4 设 $f(x) = \sqrt{1+x^3} + \mathrm{e}^x + \arcsin \frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}$, 则 $f'(0) = \underline{\quad\quad\quad}$.

【解】 局部利用导数的定义

$\begin{aligned} f'(0) &= \left. (\sqrt{1+x^3})' \right|_{x=0} + \left. (\mathrm{e}^x)' \right|_{x=0} + \lim_{x \to 0} \frac{\arcsin \frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}}{x} \\ &= 0 + 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}. \end{aligned}$

【评注】 若利用求导法则去求, 则运算较复杂.

3. 复合函数的求导法则

若 $u = φ(x)$ 在点 $x$ 可导，而 $y = f(u)$ 在对应点 $u = φ(x)$ 可导，则复合函数 $y = f[φ(x)]$ 在点 $x$ 可导，并且

$(f[φ(x)])' = f'(u)φ'(x) = f'[φ(x)]φ'(x)，$

即

复合函数对自变量的导数等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数——链式法则。

【注】

(1) 复合函数求导的链式法则可推广至多个函数复合的情形：

例如 $y = f(u), u = g(v), v = φ(x)$ 复合而成的函数 $y = f[g(φ(x))]$ 的导数为

(2) 复合函数求导数，首先要分清函数的复合层次，按照由外层到内层逐层求导数相乘进行求导，注意不要漏层，特别是不要漏下最内层的导数。同时也不要重复求某层导数。

例 5

求下列函数的导数

(1) $y = \arcsin \frac{x}{2}.$

(2) $y = \mathrm{e}^{\cos^2 \frac{1}{x}}.$

(3) $y = \ln \left( x + \sqrt{x^2 + 1} \right).$

【解】

(1)

(2)

$\begin{aligned} y' &= \mathrm{e}^{\cos^2 \frac{1}{x}} \cdot \left(\cos^2 \frac{1}{x}\right)' = 2 \mathrm{e}^{\cos^2 \frac{1}{x}} \cdot \cos \frac{1}{x} \cdot \left(\cos \frac{1}{x}\right)' \\ &= 2 \mathrm{e}^{\cos^2 \frac{1}{x}} \cdot \cos \frac{1}{x} \cdot \left(-\sin \frac{1}{x}\right) \cdot \left(\frac{1}{x}\right)' \\ &= 2 \mathrm{e}^{\cos^2 \frac{1}{x}} \cdot \cos \frac{1}{x} \cdot \left(-\sin \frac{1}{x}\right) \left(-\frac{1}{x^2}\right) \\ &= \frac{1}{x^2} \cdot \sin \frac{2}{x} \cdot \mathrm{e}^{\cos^2 \frac{1}{x}}. \end{aligned}$

(3)

例 6

已知

则

【解】

第一步：

令 $x=0$:

• 需要 $f'(-1)$.
• 已知 $f'(x) = \arctan(x^2)$, 因此

• 当 $x=0$ 时，$(3x+2)^2 = 4$

因此：

所以答案为：

例 7 设 $f(x)$ 可导，求下列函数的导数

(1) $y = f(e^x + x^2)$.

(2) $y = f(\ln x)e^{f(x)}$.

【解】

(1) $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f'(e^x + x^2) \cdot (e^x + x^2)' = (e^x + 2x)f'(e^x + x^2)$.

(2) $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = [f(\ln x)]' e^{f(x)} + f(\ln x) \cdot [e^{f(x)}]'$

$= f'(\ln x) \cdot \frac{1}{x} e^{f(x)} + f(\ln x)e^{f(x)}f'(x)$.

【评注】 要注意 $[f(\ln x)]'$ 和 $f'(\ln x)$ 的区别：

$[f(\ln x)]'$ 是 $f(u)$ 和 $u = \ln x$ 先复合为 $f(\ln x)$，后对自变量 $x$ 求导，而 $f'(\ln x)$ 是 $f(u)$ 先对 $u$ 求导得 $f'(u)$，再和 $u = \ln x$ 复合。

二者不是一回事，它们的关系为：$[f(\ln x)]' = f'(\ln x) \cdot \frac{1}{x}$.

例 8 设 $f(u)$ 可导，$y = f(\sin^2 x) + f(\cos^2 x)$，则

【解】 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f'(\sin^2 x) \cdot (\sin^2 x)' + f'(\cos^2 x) \cdot (\cos^2 x)'$

$= f'(\sin^2 x)2\sin x \cos x + f'(\cos^2 x)(-2\cos x \sin x)$

$= f'(\sin^2 x) \cdot \sin 2x - f'(\cos^2 x) \cdot \sin 2x$,

则 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\Bigg|_{x=\frac{\pi}{4}} = f'\left(\sin^2 \frac{\pi}{4}\right) \sin \frac{\pi}{2} - f'\left(\cos^2 \frac{\pi}{4}\right) \sin \frac{\pi}{2} = f'\left(\frac{1}{2}\right) - f'\left(\frac{1}{2}\right) = 0$.

故应填 0.

例 9 (2004，数四) 设

则

【解】 将函数化简为 $y = \arctan e^x - \frac{1}{2} \ln e^{2x} + \frac{1}{2} \ln (e^{2x} + 1)$

$= \arctan e^x - x + \frac{1}{2} \ln (e^{2x} + 1)$,

则 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{e^x}{1 + e^{2x}} - 1 + \frac{1}{2} \frac{2e^{2x}}{1 + e^{2x}} = \frac{e^x - 1}{1 + e^{2x}}$,

从而 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\Bigg|_{x=1} = \frac{e - 1}{1 + e^2}$.

例 10 (2011，数三) 设 $f(x) = \lim_{t \to 0} x(1 + 3t)^{\frac{x}{t}}$，则 $f'(x) =$.

【解】 $f(x) = \lim_{t \to 0} x(1 + 3t)^{\frac{x}{t}} = x \lim_{t \to 0} \left[(1 + 3t)^{\frac{1}{3t}}\right]^{3x} = x e^{3x}$,

则 $f'(x) = (xe^{3x})' = e^{3x} + 3xe^{3x} = (1 + 3x)e^{3x}$.

例 11 (2021, 数三) 若 $y = \cos e^{-\sqrt{x}}$，则 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \Big|_{x=1} = \_\_\_\_\_\_$.

【解】

则

例 12 (2012, 数三) 设函数 $f(x) = \begin{cases} \ln \sqrt{x}, & x \geqslant 1, \\ 2x - 1, & x < 1, \end{cases}$，$y = f[f(x)]$，则 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \Big|_{x=e} = \_\_\_\_\_\_$.

【解】由复合函数求导法则知 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f'[f(x)] f'(x)$，又 $f(e) = \ln \sqrt{e} = \frac{1}{2} \ln e = \frac{1}{2}$，则

又

所以，

【评注】本题也可以求出 $f[f(x)]$ 再求导，但计算较烦琐.

4. 反函数求导法则

设函数 $y = f(x)$ 在区间 $I$ 内单调、可导，且 $f'(x) \neq 0$，则其反函数 $x = \varphi(y)$ 在对应的区间内可导，并且

即：互为反函数的导数互为倒数.

例 13 证明：

(1) $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \quad (-1 < x < 1)$.

(2) $(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$.

【证】

(1) $y = \arcsin x (-1 < x < 1)$ 的反函数为 $x = \sin y \left( -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2} \right)$，由反函数求导法则得

即 $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \quad (-1 < x < 1)$.

(2) $y = \arctan x$ 的反函数为 $x = \tan y$，由反函数求导法则得

所以, $(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^{2}}$.

类似可证得

5. 隐函数求导法

设 $y=y(x)$ 是由方程 $F(x, y)=0$ 所确定的可导函数, 求其导数 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$.

方程 $F(x, y)=0$ 两边对 $x$ 求导数, 牢记 $y$ 是 $x$ 的函数, 由复合函数求导法则和四则运算求导法则, 得到一个含有 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ 的方程, 从中解出 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$.

【注】 (1) $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ 也可由多元函数微分法中的隐函数求导公式

(2) $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ 也可由 $F(x, y)=0$ 两边微分, 得 $\mathrm{d} y=\square \mathrm{d} x$, 则 $\square$ 即为 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$.

例 14 函数 $y=y(x)$ 由方程 $\arctan \frac{y}{x}=\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 所确定, 求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$.

【解】 原方程可化为 $\arctan \frac{y}{x}=\frac{1}{2} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)$, 方程两边对 $x$ 求导得

解得 $y^{\prime}=\frac{x+y}{x-y}$, 即 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{x+y}{x-y}$.

例 15 (1999, 数二) 设函数 $y=y(x)$ 由方程 $\ln \left(x^{2}+y\right)=x^{3} y+\sin x$ 确定, 则 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0}=$

【解】 将 $x=0$ 代入方程得 $y=1$. 方程两边关于 $x$ 求导得

解得 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{2 x-\left(3 x^{2} y+\cos x\right)\left(x^{2}+y\right)}{x^{3}\left(x^{2}+y\right)-1}$,

将 $x=0, y=1$ 代入上式得 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0}=1$.

【评注】

(1) 若在 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ 的表达式中只代入 $x=0$ 得 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0}=y$, 这是错误的.

当 $x=0$ 时, $y$ 唯一确定, 由原方程知 $y=1$, 故 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0}=\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{y=1}=1$.

(2) 因求一点的导数值, 也可不用求出 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ 的表达式, 而只需在 (1) 式中代入 $x=0, y=1$.

即可求出 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \bigg|_{x=0}$, 这样可简化计算，节省时间。

例 16 (2013，数二) 设函数 $y = f(x)$ 由方程 $\cos(xy) + \ln y - x = 1$ 确定，则

(A) $2$.

(B) $1$.

(C) $-1$.

(D) $-2$.

【解】 由方程 $\cos(xy) + \ln y - x = 1$ 可得当 $x = 0$ 时，$y = 1$，即 $f(0) = 1$。方程两边关于 $x$ 求导得

将 $x = 0$, $y = 1$ 代入得 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \bigg|_{x=0} = 1$。即 $f'(0) = 1$。

由导数定义可知

故应选 (A).

例 17 求曲线 $x^2 + xy + y^2 = 4$ 在点 $(2, -2)$ 处的切线方程和法线方程。

【解】 方程 $x^2 + xy + y^2 = 4$ 两边关于 $x$ 求导得

将 $x = 2$, $y = -2$ 代入上式解得 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 1$，即 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \bigg|_{x=2, y=-2} = 1$。

由导数的几何意义知，曲线过 $(2, -2)$ 点的切线斜率为 $k = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \bigg|_{x=2, y=-2} = 1$，

则切线方程为 $y - (-2) = 1 \cdot (x - 2)$，即 $y = x - 4$。

法线方程为 $y - (-2) = -1 (x - 2)$，即 $y = -x$。

例 18 (2020，数三) 曲线 $x + y + e^{2xy} = 0$ 在点 $(0, -1)$ 处的切线方程为 ______。

【解】 对方程 $x + y + e^{2xy} = 0$ 两边关于 $x$ 求导得

将 $x = 0$, $y = -1$ 代入上式得 $\left. \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right|_{x=0} = 1$，

则切线斜率为 $k = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \bigg|_{x=0} = 1$，

所以曲线过 $(0, -1)$ 点的切线方程为 $y - (-1) = x$，即 $y = x - 1$。

6. 对数求导法

对数求导法是将函数等式两边同时取对数，化为隐函数形式，再按照隐函数求导法求导数。

对数求导法常用于幂指数函数的求导数，以及多个因式的乘除、乘幂及开方求导数。
幂指数函数 $y = f(x)^{g(x)}$ 的求导数，常用下面两种方法：

方法一：对数求导法

两边取自然对数，得：

对上式两边对 $x$ 求导，得到：

解出 $y'$，并将 $y = f(x)^{g(x)}$ 代入得：

方法二：复合函数求导法

将函数取指数变形为：

然后按照复合函数求导数即可。

例19

设 $y = (\sin x)^x$，求 $\frac{dy}{dx}$。

【解】

方法一：对数求导法

两边取自然对数，得：

方程两边对 $x$ 求导，得到：

即：

代回 $y = (\sin x)^x$，得：

方法二：复合函数求导法

将：

则：

即：

例20

设 $y = (x-1)^2 \sqrt[3]{\frac{(x+1)(x^2-3)}{(1+4x)^2}}$，求 $\frac{dy}{dx}$。

【解】

两边取自然对数，得：

方程两边对 $x$ 求导，得到：

所以：

代回 $y$ 的表达式，得：

例21

设 $y = \frac{(\ln x)^x}{x^{\ln x}}$，求 $\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=e}$。

【解】

两边取自然对数，得：

方程两边对 $x$ 求导，得到：

整理得：

即：

代入 $x = e$：

• $\ln e = 1$
• $\ln(\ln e) = \ln 1 = 0$

于是：